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Concept
Fonction elliptique de Weierstrass
Résumé
En analyse complexe, les fonctions elliptiques de Weierstrass forment une classe importante de fonctions elliptiques c'est-à-dire de fonctions méromorphes doublement périodiques. Toute fonction elliptique peut être exprimée à l'aide de celles-ci.
Supposons que l'on souhaite fabriquer une telle fonction de période 1. On peut prendre une fonction quelconque, définie sur [0, 1] et telle que
f(0) = f(1) et la prolonger convenablement. Un tel procédé a des limites. Par exemple, on obtiendra rarement des fonctions analytiques de cette façon.
Une idée plus sophistiquée est de prendre une fonction définie sur et d'introduire la fonction définie par .
Un exemple simple est donné par
Si , on obtient une fonction infiniment dérivable, définie sur
R\Z et de période 1. Si , la série ne converge pas, mais on peut introduire à la place
qui s'écrit aussi
ou encore
C'est a priori la plus intéressante du lot, puisque les autres en sont (à des facteurs constants près) les dérivées successives. Dans le cadre de la théorie des fonctions holomorphes, on démontre que cette série converge
uniformément sur tout compact vers la fonction .
Dans son petit livre sur les foncions elliptiques dont cette introduction est inspirée, André Weilreprend les travaux de Gotthold Eisenstein, fait semblant d'ignorer les fonctions trigonométriques, et les retrouve avec des méthodes élémentaires ingénieuses à partir des séries ci-dessus.
Une période d'une fonction continue f est un nombre non nul T tel que, pour tout réel x, on ait f(x + T) = f(x). La différence de deux périodes est une période, de sorte que les périodes forment un sous-groupe du groupe (R, +), fermé en raison de la continuité de f. Un tel sous-groupe, s'il n'est pas réduit à zéro, est soit égal à R tout entier (la fonction f est alors constante, cas trivial) soit de la forme aZ pour un réel a > 0, que les physiciens appellent la plus petite période de f.
Une fonction doublement périodique est une fonction dont le groupe des périodes est isomorphe à Z.
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