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Concept
Fonction thêta
Résumé
En mathématiques, on appelle fonctions thêta certaines fonctions spéciales d'une ou de plusieurs variables complexes. Elles apparaissent dans plusieurs domaines, comme l'étude des variétés abéliennes, des espaces de modules, et les formes quadratiques. Elles ont aussi des applications à la théorie des solitons. Leurs généralisations en algèbre extérieure apparaissent dans la théorie quantique des champs, plus précisément dans la théorie des cordes et des D-branes.
Les fonctions thêtas les plus courantes sont celles qui apparaissent en théorie des fonctions elliptiques. Elles vérifient par rapport à l'une de leurs variables (traditionnellement z) certaines relations fonctionnelles qui traduisent les formules d'addition des périodes des fonctions elliptiques associées (quelquefois appelée quasi-périodicité, à ne pas confondre avec la notion homonyme en dynamique).
La fonction thêta de Jacobi est une fonction de deux variables complexes. C'est la somme totale de la série
qui n'est définie que lorsque z décrit le plan complexe et τ le demi-plan de Poincaré des complexes de partie imaginaire strictement positive.
Cette fonction est périodique en la variable z, de période 1. Autrement dit elle satisfait l'équation fonctionnelle suivante :
Cela se vérifie directement, car à τ fixé, la série définissant la fonction thêta a la forme d'une série de Fourier.
La fonction se comporte aussi très régulièrement en respectant l'addition par τ et satisfait l'équation fonctionnelle
où a et b sont des entiers.
Il est pratique de définir trois fonctions thêta auxiliaires, que nous pouvons écrire
Cette notation suit celle de Riemann et de Mumford ; la formulation originelle de Jacobi était en termes du nome q = exp(πτ) plutôt que τ, et thêta appelé θ, θ nommé θ, θ nommé θ et θ appelé –θ.
Si nous fixons z = 0 dans les fonctions thêta précédentes, nous obtenons quatre fonctions de τ seulement, définies sur le demi-plan de Poincaré (quelquefois appelées constantes thêta). Celles-ci peuvent être utilisées pour définir une variété de formes modulaires, et pour paramétrer certaines courbes.
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