Moyenne logarithmique

vignette|300x300px|Graphique tridimensionnel représentant la moyenne logarithmique de x et y. En mathématiques, la moyenne logarithmique est un type de moyenne. Pour deux réels strictement positifs, elle est égale à leur différence, divisée par le logarithme de leur quotient. Cette moyenne est utilisée lors de problèmes d'ingénierie concernant le transfert de chaleur et de masse. La moyenne logarithmique de deux réels strictement positifs est définie par : Ainsi, par exemple, la moyenne logarithmique de 1 et 2 est , voir la . La moyenne logarithmique est bien une moyenne, car comprise entre a et b (ce résultat est connu sous le nom d'« inégalité de Napier»). Elle est de plus homogène : . La moyenne logarithmique de deux nombres est inférieure ou égale à leur moyenne arithmétique et à leur moyenne d'ordre 1/2 , mais supérieure ou égale à leur moyenne géométrique et à leur moyenne harmonique ; plus précisément : Les deux inégalités extrêmes viennent de la croissance avec de la moyenne d'ordre et les deux inégalités centrales de la croissance avec de la moyenne de Stolarsky . Ces deux dernières inégalités se démontrent élémentairement comme suit. Pour , on pose ; les inégalités s'écrivent alors . En remplaçant par , la première inégalité s'écrit , inégalité classique. La deuxième s'écrit aussi ; en remplaçant par , elle s'écrit , inégalité également classique. La relation entre les moyennes géométrique, logarithmique et arithmétique peut aussi se déduire de l'inégalité d'Hermite-Hadamard pour f = exp sur [ln(a) , ln(b)]. D'après le théorème des accroissements finis, il existe un réel entre a et b où la dérivée d'une fonction f est égale à la pente de la sécante : La moyenne logarithmique est le nombre lorsque l'on prend : soit : La moyenne logarithmique peut également être interprétée comme l'aire sous une courbe définie par des fonctions exponentielle : Le calcul est direct : Carlson donne d'autres expressions intégrales: La première intégrale se fait par un simple changement de variables affine : Pour la deuxième intégrale, on utilise la décomposition en éléments simples : D'après le théorème des sommes de Riemann, est la limite de la suite décroissante , formée de moyennes arithmétiques de moyennes géométriques pondérées.