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Concept
Injection (mathématiques)
Résumé
Une application f est dite injective ou est une injection si tout élément de son ensemble d'arrivée a au plus un antécédent par f, ce qui revient à dire que deux éléments distincts de son ensemble de départ ne peuvent pas avoir la même par f.
Lorsque les ensembles de départ et d'arrivée de f sont tous les deux égaux à la droite réelle R, f est injective si et seulement si son graphe intersecte toute droite horizontale en au plus un point.
Si une application injective est aussi surjective, elle est dite bijective.
alt=Représentation graphique de la notion d'injection|vignette|Représentation graphique de la notion d'injection, pour tout y de Y, il existe au plus un x de X tel que y=f(x)|368x368px
Une application f : X → Y est injective si pour tout y ∈ Y, il existe au plus un x ∈ X tel que f(x) = y, ce qui s'écrit :
L'implication précédente équivaut à sa contraposée :
Prenons le cas d'une station de vacances où un groupe de touristes doit être logé dans un hôtel. Chaque façon de répartir ces touristes dans les chambres de l'hôtel peut être représentée par une application de l'ensemble des touristes, X, vers l'ensemble des chambres, Y (à chaque touriste est associée une chambre).
L'hôtelier souhaite que l'application soit surjective, c'est-à-dire que chaque chambre soit occupée. Cela n'est possible que s'il y a au moins autant de touristes que de chambres.
Les touristes souhaitent que l'application soit injective, c'est-à-dire que chacun d'entre eux ait une chambre individuelle. Cela n'est possible que si le nombre de touristes ne dépasse pas le nombre de chambres.
Ces contraintes ne sont compatibles que si le nombre de touristes est égal au nombre de chambres. Dans ce cas, il sera possible de répartir les touristes de telle sorte qu'il y en ait un seul par chambre, et que toutes les chambres soient occupées : l'application sera alors à la fois injective et surjective ; on dira qu'elle est bijective.
Considérons l'application f : R → R définie par f(x) = 2x + 1.
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