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Concept
Matrice par blocs
Résumé
vignette|Un matrice présente une structure par blocs si l'on peut isoler les termes non nuls dans des sous-matrices (ici la structure « diagonale par blocs » d'une réduite de Jordan).
On appelle matrice par blocs une matrice divisée en blocs à partir d'un groupement quelconque de termes contigus de sa diagonale. Chaque bloc étant indexé comme on indicerait les éléments d'une matrice, la somme et le produit de deux matrices partitionnées suivant les mêmes tailles de bloc, s'obtiennent avec les mêmes règles formelles que celles des composantes (mais en veillant à l'ordre des facteurs dans les produits matriciels!). L'intérêt du partitionnement des matrices en bloc vient de ce que le produit d'un bloc par un bloc dont toutes les composantes sont nulles (sous-matrice nulle) est une matrice nulle. Le partitionnement des matrices permet de distribuer les calculs matriciels entre plusieurs processeurs travaillant concurremment : c'est l'un des principes de base du calcul parallèle.
En théorie des matrices, une matrice par blocs ou matrice partitionnée est une matrice divisée en sous-matrices rectangulaires à partir d'une division de sa diagonale : ces sous-matrices sont appelées blocs. On peut dire également que la matrice est écrite en termes de sous-matrices mises côte à côte. Une matrice par blocs doit se conformer à une manière cohérente de division des lignes et des colonnes :
on groupe les lignes en « groupes » adjacents, et les colonnes de la même manière ;
on convient que les blocs diagonaux sont des sous-matrices carrées.
La partition se fait dans les rectangles décrits par un groupe de lignes adjacentes croisant un groupe de colonnes adjacentes. En d'autres termes, la matrice est divisée par certaines des lignes horizontales et verticales la traversant.
La matrice
peut être partitionnée en quatre blocs
On peut alors écrire la matrice par bloc comme :
Sous certaines conditions d'homogénéité du partitionnement en blocs, un produit de matrices peut être effectué par blocs, c'est-à-dire en considérant seulement des opérations sur les sous-matrices.
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