Résumé
En algèbre linéaire et plus précisément en théorie des matrices, le complément de Schur est défini comme suit. Soit une matrice de dimension (p+q)×(p+q), où les blocs A, B, C, D sont des matrices de dimensions respectives p×p, p×q, q×p et q×q, avec D inversible. Alors, le complément de Schur du bloc D de la matrice M est constitué par la matrice de dimension p×p suivante : Lorsque B est la transposée de C, la matrice M est symétrique définie positive si et seulement si D et son complément de Schur dans M le sont. Le complément de Schur apparaît en particulier comme le résultat d'une élimination de Gauss « partielle » en multipliant la matrice M à droite avec la matrice « triangulaire inférieure par blocs » suivante Ici, Ip désigne la matrice identité de dimension p×p. Après multiplication par la matrice LT, le complément de Schur apparaît dans le bloc p×p supérieur. La matrice produit est L'inverse de M peut ainsi être exprimée en termes de D et de l'inverse du complément de Schur ou encore plus simplement, De même, si A est inversible, son complément de Schur est par définition D – CAB, et si ce dernier est également inversible on a : Le complément de Schur apparaît naturellement lors de la résolution d'un système d'équations linéaires de la forme où x et a sont des vecteurs colonne de dimension p, y et b sont des vecteurs colonne de dimension q, A, B, C, D sont comme précédemment. En multipliant la seconde équation par BD puis en la soustrayant de la première, il vient Ainsi, la résolution de cette équation en x est possible dès que D et son complément de Schur sont inversibles. Il est ensuite possible d'obtenir y en résolvant l'équation Cx + Dy = b. Cette méthode réduit le problème de l'inversion d'une matrice de dimension (p + q) × (p + q) à celui de l'inversion de deux matrices de dimensions respectives p×p et q×q. En pratique, la matrice D doit être bien conditionnée pour rendre la méthode précise. Soit un vecteur gaussien de R de matrice de covariance Ici, (respectivement ) est un vecteur gaussien de R (respectivement R) de matrice de covariance (respectivement ), et désigne la transposée de .
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