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Concept
Complément de Schur
Résumé
En algèbre linéaire et plus précisément en théorie des matrices,
le complément de Schur est défini comme suit. Soit
une matrice de dimension (p+q)×(p+q),
où les blocs A, B, C, D
sont des matrices de dimensions respectives
p×p, p×q, q×p
et q×q, avec D inversible.
Alors, le complément de Schur du bloc D de la matrice M est constitué par la matrice de dimension p×p suivante :
Lorsque B est la transposée de C, la matrice M est symétrique définie positive si et seulement si D et son complément de Schur dans M le sont.
Le complément de Schur apparaît en particulier comme le résultat d'une élimination de Gauss « partielle » en multipliant la matrice M à droite avec la matrice « triangulaire inférieure par blocs » suivante
Ici, Ip désigne la matrice identité de dimension p×p. Après multiplication par la matrice LT, le complément de Schur apparaît dans le bloc p×p supérieur. La matrice produit est
L'inverse de M peut ainsi être exprimée en termes de D et de l'inverse du complément de Schur
ou encore plus simplement,
De même, si A est inversible, son complément de Schur est par définition D – CAB, et si ce dernier est également inversible on a :
Le complément de Schur apparaît naturellement lors de la résolution d'un système d'équations linéaires de la forme
où
x et a sont des vecteurs colonne de dimension p,
y et b sont des vecteurs colonne de dimension q,
A, B, C, D sont comme précédemment.
En multipliant la seconde équation par BD puis en la soustrayant de la première, il vient
Ainsi, la résolution de cette équation en x est possible dès que
D et son complément de Schur sont inversibles. Il est ensuite possible d'obtenir y en résolvant
l'équation Cx + Dy = b. Cette méthode réduit le problème de l'inversion d'une matrice de dimension
(p + q) × (p + q) à celui de l'inversion
de deux matrices de dimensions respectives p×p et q×q. En pratique, la matrice D doit être bien conditionnée pour rendre la méthode précise.
Soit un vecteur gaussien de R
de matrice de covariance
Ici, (respectivement ) est un vecteur gaussien de
R (respectivement R)
de matrice de covariance (respectivement ), et désigne la transposée de .
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