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Concept
Test de convergence
Résumé
En mathématiques, les tests de convergence sont des méthodes de test de la convergence, de la convergence absolue ou de la divergence d'une série . Appliqués aux séries entières, ils donnent des moyens de déterminer leur rayon de convergence.
Pour que la série converge, il est nécessaire que . Par conséquent, si cette limite est indéfinie ou non nulle, alors la série diverge.
La condition n'est pas suffisante, et, si la limite des termes est nulle, on ne peut rien conclure.
Toute série absolument convergente converge.
Si la série est absolument convergente et pour n suffisamment grand, alors la série converge absolument.
Application aux suites équivalentes
Si et si , alors converge si et seulement si converge.
Ce test est également connu comme le critère de d'Alembert.
Supposons qu'il existe tel que
Si , alors la série est absolument convergente. Si , alors la série diverge. Si , le test de ratio n'est pas concluant, et la série peut converger ou diverger.
Ce test est également connu comme le test de la racine n-ième.
Soit
où désigne la limite supérieure (qui peut être ).
Si , alors la série converge. Si , alors la série diverge. Si , le test n'est pas concluant, et la série peut converger ou diverger.
La règle de Cauchy est plus forte que la règle de d'Alembert (car la condition requise est plus faible) : chaque fois que la règle de d'Alembert détermine la convergence ou la divergence d'une série infinie, la règle de Cauchy le fait aussi, mais la réciproque est fausse.
Par exemple, pour la série
la convergence peut se déduire de la règle de Cauchy, mais pas de celle de d'Alembert.
La série peut être comparée à une intégrale pour établir sa convergence ou sa divergence. Soit une fonction monotone.
La série converge si et seulement si l'intégrale impropre converge.
Si :
est une suite réelle monotone de limite nulle et
est une suite de nombres complexes dont la suite des sommes partielles est bornée,
alors converge.
Ce théorème a deux corollaires importants :
Si :
est de signe constant,
la valeur absolue de chaque terme est inférieure à la valeur absolue du terme précédent,
alors est convergente.
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