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Concept
Méthode de la transformée inverse
Résumé
La méthode de la transformée inverse est une méthode permettant d'échantillonner une variable aléatoire X de loi donnée à partir de l'expression de sa fonction de répartition F et d'une variable uniforme sur .
Cette méthode repose sur le principe suivant, parfois connu sous le nom de théorème de la réciproque : soient F une fonction de répartition, Q la fonction quantile associée, et U une variable uniforme sur . Alors, la variable aléatoire X = Q(U) a pour fonction de répartition F. Ainsi, pour échantillonner une variable aléatoire de loi donnée, il suffit de savoir échantillonner des variables uniformes sur et de pouvoir calculer la fonction quantile de la loi souhaitée.
Le nom méthode de la transformée inverse provient du fait que la fonction quantile n'est autre que l'inverse généralisé à gauche de la fonction de répartition :
En particulier, si la fonction de répartition F est continue et strictement croissante, alors elle est bijective et Q = F est sa bijection réciproque.
Pour certaines lois, on sait inverser la fonction de répartition F, comme le montre la liste suivante :
Ainsi, par exemple, échantillonner une variable selon la loi exponentielle de paramètre λ :
on tire un nombre U uniformément sur
on calcule .
A noter ici que, puisque U suit la loi uniforme sur si et seulement si 1 - U suit la loi uniforme sur , on pourrait également utiliser . Toutefois, pour des raisons de précision numérique, on utilisera généralement , la fonction qui à x associe ln(1 + x) étant implémentée dans de nombreux langages de programmation.
Dans le cas général, on ne sait pas inverser la fonction de répartition F de façon analytique, c'est-à-dire qu'on ne dispose pas d'une formule explicite donnant, pour u appartenant à [0, 1], x tel que . Il faut alors résoudre l'équation numériquement, en utilisant au choix une fonction tabulée, la méthode de dichotomie, la méthode de la fausse position, la méthode de la sécante ou encore la méthode de Newton.
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