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Concept
Équicontinuité
Résumé
En analyse, un ensemble de fonctions définies sur un espace topologique et à valeurs dans un espace uniforme est dit équicontinu en un point de l'espace de départ si ces fonctions non seulement sont toutes continues en ce point, mais le sont d'une façon semblable en un sens explicité plus loin. L'ensemble de fonctions sera dit équicontinu tout court s'il est équicontinu en tout point de l'espace de départ.
On parle souvent non d'ensemble, mais de famille de fonctions équicontinues ; ce qui importe cependant reste l'ensemble des fonctions de la famille.
Les familles de fonctions équicontinues possèdent certaines propriétés intéressantes. Par exemple, si une suite de fonctions continues converge simplement vers une fonction, cette fonction n'est pas forcément continue (un contre-exemple est donné par la famille de fonctions définies sur [0, 1] par x ↦ x). Cependant, si cette suite est équicontinue, alors la limite est continue.
Soit (f) une famille de fonctions d'un espace topologique E dans un espace uniforme F. L'ensemble d'indices I peut être quelconque (fini ou infini dénombrable ou non).
La famille (f) est dite :
équicontinue au point x si :
équicontinue si elle est équicontinue en tout point de E ;
Lorsque E est un espace uniforme, la famille est dite uniformément équicontinue si :
Dans tout ce qui précède, on peut remplacer la famille (f) par l'ensemble {f | i ∈ I}. On parlera donc d'un ensemble d'applications équicontinu en un point, ou équicontinu, ou uniformément continu.
Étant donné la famille (f), on peut considérer l'application de l'espace E dans l'ensemble F qui à tout x ∈ E associe la famille (f(x)).
L'équicontinuité (respectivement l'équicontinuité uniforme) de la famille (f) équivaut à la continuité (resp. à la continuité uniforme) de cette application de E dans F lorsqu'on munit F de la topologie (resp. de la structure uniforme) de la convergence uniforme sur I.
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