In mathematics, the Adams spectral sequence is a spectral sequence introduced by which computes the stable homotopy groups of topological spaces. Like all spectral sequences, it is a computational tool; it relates homology theory to what is now called stable homotopy theory. It is a reformulation using homological algebra, and an extension, of a technique called 'killing homotopy groups' applied by the French school of Henri Cartan and Jean-Pierre Serre.
For everything below, once and for all, we fix a prime p. All spaces are assumed to be CW complexes. The ordinary cohomology groups are understood to mean .
The primary goal of algebraic topology is to try to understand the collection of all maps, up to homotopy, between arbitrary spaces X and Y. This is extraordinarily ambitious: in particular, when X is , these maps form the nth homotopy group of Y. A more reasonable (but still very difficult!) goal is to understand the set of maps (up to homotopy) that remain after we apply the suspension functor a large number of times. We call this the collection of stable maps from X to Y. (This is the starting point of stable homotopy theory; more modern treatments of this topic begin with the concept of a spectrum. Adams' original work did not use spectra, and we avoid further mention of them in this section to keep the content here as elementary as possible.)
The set turns out to be an abelian group, and if X and Y are reasonable spaces this group is finitely generated. To figure out what this group is, we first isolate a prime p. In an attempt to compute the p-torsion of , we look at cohomology: send to Hom(H*(Y), H*(X)). This is a good idea because cohomology groups are usually tractable to compute.
The key idea is that is more than just a graded abelian group, and more still than a graded ring (via the cup product). The representability of the cohomology functor makes H*(X) a module over the algebra of its stable cohomology operations, the Steenrod algebra A.
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John Frank Adams ( – ) est un mathématicien britannique, l'un des fondateurs de la théorie de l'homotopie. Frank Adams est né à Woolwich, dans la banlieue sud-est de Londres. Il commence ses recherches au Trinity College de Cambridge auprès d'Abram Besicovitch, mais se réoriente rapidement vers la topologie algébrique. En 1956, il soutient à Cambridge un Ph. D., dirigé par Shaun Wylie et devient Fellow du Trinity. Une bourse lui permet de faire un séjour à l'université de Chicago et à l'IAS (Institute for Advanced Study) en 1957-1958 et il séjourne de nouveau à l'IAS en 1961.
En mathématiques, et plus spécifiquement en topologie algébrique, les groupes d'homotopie des sphères sont des invariants qui décrivent, en termes algébriques, comment des sphères de dimensions et égales ou différentes peuvent s'enrouler l'une sur l'autre. La notion, définie au départ pour des sphères de dimension 1 (cercles) et de dimension 2, se généralise à des sphères de toutes dimensions (les -sphères).
En topologie algébrique, une branche des mathématiques, un spectre est un objet représentant une théorie cohomologique généralisée (qui découle du ). Cela signifie que, étant donné une théorie de cohomologie,il existe des espaces tels que l'évaluation de la théorie cohomologique en degré sur un espace équivaut à calculer les classes d'homotopie des morphismes à l'espace , soit encore.Remarquons qu'il existe plusieurs catégories de spectres différentes conduisant à de nombreuses difficultés techniques, mais ils déterminent tous la même , connue sous le nom de catégorie d'homotopie stable.
We propose an introduction to homotopy theory for topological spaces. We define higher homotopy groups and relate them to homology groups. We introduce (co)fibration sequences, loop spaces, and suspen
Singular cohomology is defined by dualizing the singular chain complex for spaces. We will study its basic properties, see how it acquires a multiplicative structure and becomes a graded commutative a
ln this course we will develop algebraic and coalgebraic models for homotopy types.
Among other things we will learn about Quillen's and Sullivan's model of rationâl homotopy types and about Mandell's
Explore les séquences de tours, les homomorphismes et leurs applications en topologie, y compris le calcul de l'homologie et la construction de télescopes.
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The cotangent complex of a map of commutative rings is a central object in deformation theory. Since the 1990s, it has been generalized to the homotopical setting of E-infinity-ring spectra in various ways. In this work we first establish, in the context o ...
2021
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Twisted topological Hochschild homology of Cn-equivariant spectra was introduced by Angeltveit, Blumberg, Gerhardt, Hill, Lawson, and Mandell, building on the work of Hill, Hopkins, and Ravenel on norms in equivariant homotopy theory. In this paper we intr ...