Groupe divisible

En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des groupes, un groupe abélien divisible est un groupe abélien G tel que, pour tout nombre naturel n ≥ 1, on ait (en notation additive) G = nG. Ceci revient à dire que pour tout élément x de G et tout nombre naturel n ≥ 1, il existe au moins un élément y de G tel que x = ny. On peut étendre cette définition aux groupes non abéliens, un groupe divisible étant un groupe dans lequel (en notation multiplicative) tout élément est n-ième puissance, quel que soit l'entier naturel n ≥ 1. Parmi les groupes divisibles, toutefois, seuls les groupes divisibles abéliens constituent un chapitre classique de la théorie des groupes et il ne sera question que de ceux-ci dans le présent article. Le groupe additif Q des nombres rationnels est divisible. Plus généralement, le groupe additif de tout espace vectoriel sur le corps Q est divisible (on obtient ainsi tous les groupes divisibles sans torsion). Tout quotient d'un groupe divisible est divisible. En particulier, Q/Z est divisible. Pour un nombre premier p donné, la composante p-primaire Z[1/p]/Z de Q/Z — aussi notée Z(p) — est divisible. Ceci revient à dire que les groupes de Prüfer sont divisibles. Le groupe multiplicatif C* des nombres complexes non nuls est divisible, puisqu'un complexe possède des racines n-ièmes pour tout n. Un groupe abélien G est divisible si et seulement si G = pG pour tout nombre premier p. Un groupe abélien p-primaire (autrement dit un p-groupe abélien) est divisible si et seulement si G = pG. La somme directe d'une famille de groupes abéliens est divisible si et seulement si chacun de ces groupes est divisible. (Baer, 1940) Si f est un homomorphisme d'un groupe abélien A dans un groupe abélien divisible D, si B est un groupe abélien dont A est sous-groupe, f peut être prolongé en un homomorphisme de B dans D. Tout sous-groupe divisible d'un groupe abélien en est facteur direct.