Hamiltonien en théorie des champs
En physique théorique, la théorie des champs hamiltoniens est analogue à la mécanique hamiltonienne classique, appliquée à la théorie des champs. C'est un formalisme de la théorie classique des champs qui se base sur la théorie lagrangienne des champs. Elle a également des applications dans la théorie quantique des champs. L'hamiltonien, pour un système de particules discrètes, est une fonction qui dépend de leurs coordonnées généralisées et de leurs moments conjugués, et éventuellement du temps. Pour les systèmes continus et les champs, la mécanique hamiltonienne n'est pas adaptée, mais peut être étendue en considérant un grand nombre de masses ponctuelles, et en prenant la limite continue, c'est-à-dire une infinité de particules formant un système continu ou un champ. Puisque chaque masse ponctuelle a un ou plusieurs degrés de liberté, la formulation du champ a une infinité de degrés de liberté. La densité hamiltonienne est l'analogue continu pour les champs; c'est une fonction qui dépend des champs eux-mêmes, des moments conjugués qui sont aussi des champs, et éventuellement des coordonnées spatiales et temporelles elles-mêmes. Pour un champ scalaire , la densité hamiltonienne est définie à partir de la densité lagrangienne par avec l' opérateur "del" ou "nabla", est le vecteur de position d'un point dans l'espace, et est le temps. La densité lagrangienne est une fonction des champs du système, de leurs dérivées spatiales et temporelles, et éventuellement des coordonnées spatio-temporelles elles-mêmes. C'est l'analogue pour les champs de la fonction lagrangienne pour un système de particules discrètes décrites par des coordonnées généralisées. Comme en mécanique hamiltonienne, où chaque coordonnée généralisée a une impulsion généralisée correspondant, le champ a un moment conjugué qui est un champ, défini comme la dérivée partielle de la densité lagrangienne par rapport à la dérivée temporelle du champ, dans lequel désigne une dérivée temporelle partielle , et non une dérivée totale temporelle .