Polynôme de Fibonacci

En mathématiques les polynômes de Fibonacci, nommés ainsi en l'honneur du mathématicien italien Leonardo Fibonacci, sont une suite de polynômes généralisant les nombres de Fibonacci, définis d'une manière telle que soit égal au n-ième nombre de la suite de Fibonacci. Les polynômes de Lucas généralisent de même les nombres de Lucas. Les polynômes de Fibonacci sont définis par une relation de récurrence linéaire. est un polynôme de degré n-1. Les premiers polynômes de Fibonacci sont : Les polynômes de Lucas sont définis par la même récurrence, mais avec des valeurs initiales différentes : est un polynôme de degré n. Les premiers polynômes de Lucas sont : Les nombres de Fibonacci sont alors calculés en évaluant la valeur du polynôme Fn lorsque x = 1 ; les nombres de Pell sont déterminés en évaluant Fn lorsque x = 2. Enfin, les nombres de Lucas sont obtenus en évaluant Ln en 1. Ces suites de polynômes sont des suites de Lucas associées : on a La série génératrice pour les polynômes de Fibonacci est : De même, la série génératrice des polynômes de Lucas est : Suite de Lucas En tant que cas particuliers de suites de Lucas, ces polynômes vérifient de nombreuses identités. Ils peuvent être définis pour des indices négatifs par On a également : Des expressions analogues à la formule de Binet existent : où sont les solutions (en t) de Les puissances de x s'expriment comme combinaison des polynômes de Fibonacci par Par exemple, Posant , on vérifie qu'avec les notations précédentes, , , et donc que , qui ne s'annule que pour ainsi les racines de sont les imaginaires purs . On en déduit la factorisation des : et puis, prenant , une expression trigonométrique des nombres de Fibonacci : des formules analogues peuvent être obtenues pour les polynômes de Lucas. Si F(n,k) est le coefficient de xk dans Fn(x), c'est-à-dire que alors F(n,k) est le nombre de façons dont on peut paver une bande de n−1 carrés avec des dominos (des rectangles ) et exactement k carrés unité.

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vignette|Une juxtaposition de carrés dont les côtés ont pour longueur des nombres successifs de la suite de Fibonacci : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 et 21. En mathématiques, la suite de Fibonacci est une suite d'entiers dans laquelle chaque terme est la somme des deux termes qui le précèdent. Notée , elle est définie par , et pour . Les termes de cette suite sont appelés nombres de Fibonacci et forment la : vignette|Représentation géométrique de la fraction continue de φ faisant apparaître les nombres de la suite de Fibonacci.

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