Espace complètement régulier

En mathématiques, un espace complètement régulier (ou de Tikhonov) est un espace topologique vérifiant une propriété de séparation plus forte que la séparation usuelle et même que la propriété d'être régulier. Un espace topologique X vérifie la propriété de séparation T si pour tout point x de X et pour tout fermé F de X ne contenant pas x, il existe une application continue de X dans le segment [0, 1] valant 0 en x et 1 sur F (on dit alors que cette application sépare le point du fermé). Un espace est complètement régulier s'il est séparé et vérifie T. Il suffit pour cela qu'il vérifie T et T. Un espace vérifie donc T si et seulement si son quotient de Kolmogorov est complètement régulier. La topologie grossière vérifie T. Tout espace métrisable est complètement régulier. Le lemme d'Urysohn montre que plus généralement, tout espace normal est complètement régulier. Tout espace localement compact est complètement régulier. Pour des cas particuliers de tels espaces, voir les articles Espace métrique, Espace normal (et Espace paracompact), Espace localement compact. Il existe des espaces complètement réguliers qui ne sont ni normaux, ni localement compacts, comme le plan de Moore, le plan de Sorgenfrey et tout produit d'une infinité non dénombrable de copies de l'espace discret dénombrable. Tout groupe topologique vérifie T. Un R-espace vectoriel topologique séparé est donc complètement régulier, alors qu'il n'est localement compact que s'il est de dimension finie. Le plan de Mysior n'est pas complètement régulier mais seulement régulier. Pour tout espace topologique X, les propriétés suivantes sont équivalentes : X vérifie T ; la topologie de X coïncide avec la topologie initiale associée à l'ensemble d'applications continues C(X, R) ou au sous-ensemble C(X, R) de celles qui sont bornées, ou même à C(X,[0, 1]) ; tout fermé de X est une intersection de lieux d'annulation de fonctions continues de X dans R ; X est uniformisable.

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Espace normal

vignette|Un espace topologique séparé X est dit normal lorsque, pour tous fermés disjoints E et F de X, il existe des ouverts disjoints U et V tels que U contienne E et V, F. En mathématiques, un espace normal est un espace topologique vérifiant un axiome de séparation plus fort que la condition usuelle d'être un espace séparé. Cette définition est à la base de résultats comme le lemme d'Urysohn ou le théorème de prolongement de Tietze. Tout espace métrisable est normal. Soit X un espace topologique.

Espace localement compact

En topologie, un espace localement compact est un espace séparé qui admet des voisinages compacts pour tous ses points. Un tel espace n'est pas nécessairement compact lui-même mais on peut y généraliser (au moins partiellement) beaucoup de résultats sur les espaces compacts. Ce sont aussi les espaces qu'on peut « rendre » compacts avec un point grâce à la compactification d'Alexandrov. La compacité est une source très fertile de résultats en topologie mais elle reste une propriété très contraignante.

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En mathématiques et plus précisément en topologie, la topologie grossière (ou topologie triviale) associée à un ensemble X est la topologie sur X dont les seuls ouverts sont l'ensemble vide et X. Cette topologie est la moins fine de toutes les topologies qu'il est possible de définir sur un ensemble ; intuitivement, tous les points de l'espace topologique ainsi créé sont « groupés ensemble » et ne peuvent pas être distingués du point de vue topologique.

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