Espace complètement régulier

En mathématiques, un espace complètement régulier (ou de Tikhonov) est un espace topologique vérifiant une propriété de séparation plus forte que la séparation usuelle et même que la propriété d'être régulier. Un espace topologique X vérifie la propriété de séparation T si pour tout point x de X et pour tout fermé F de X ne contenant pas x, il existe une application continue de X dans le segment [0, 1] valant 0 en x et 1 sur F (on dit alors que cette application sépare le point du fermé). Un espace est complètement régulier s'il est séparé et vérifie T. Il suffit pour cela qu'il vérifie T et T. Un espace vérifie donc T si et seulement si son quotient de Kolmogorov est complètement régulier. La topologie grossière vérifie T. Tout espace métrisable est complètement régulier. Le lemme d'Urysohn montre que plus généralement, tout espace normal est complètement régulier. Tout espace localement compact est complètement régulier. Pour des cas particuliers de tels espaces, voir les articles Espace métrique, Espace normal (et Espace paracompact), Espace localement compact. Il existe des espaces complètement réguliers qui ne sont ni normaux, ni localement compacts, comme le plan de Moore, le plan de Sorgenfrey et tout produit d'une infinité non dénombrable de copies de l'espace discret dénombrable. Tout groupe topologique vérifie T. Un R-espace vectoriel topologique séparé est donc complètement régulier, alors qu'il n'est localement compact que s'il est de dimension finie. Le plan de Mysior n'est pas complètement régulier mais seulement régulier. Pour tout espace topologique X, les propriétés suivantes sont équivalentes : X vérifie T ; la topologie de X coïncide avec la topologie initiale associée à l'ensemble d'applications continues C(X, R) ou au sous-ensemble C(X, R) de celles qui sont bornées, ou même à C(X,[0, 1]) ; tout fermé de X est une intersection de lieux d'annulation de fonctions continues de X dans R ; X est uniformisable.