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Concept
Algèbre de Weyl
Résumé
En mathématiques, et plus précisément en algèbre générale, lalgèbre de Weyl est un anneau d'opérateurs différentiels dont les coefficients sont des polynômes à une variable. Cette algèbre (et d'autres la généralisant, appelées elles aussi algèbres de Weyl) a été introduite par Hermann Weyl en 1928 comme outil d'étude du principe d'incertitude en mécanique quantique.
Les éléments de l'algèbre de Weyl sont de la forme
où les fi sont des éléments de F[X], l'anneau des polynômes à une variable sur un corps F, et où ∂X est la dérivée par rapport à X. L'algèbre est donc engendrée par X et ∂X (la dérivation étant un opérateur linéaire, l'ensemble des opérateurs de cette forme est bien une F-algèbre pour la composition).
L'algèbre de Weyl est isomorphe au quotient de l'algèbre libre à deux générateurs, X et Y, par l'idéal engendré par l'élément YX – XY – 1.
C'est également un quotient de l'algèbre enveloppante de l' (l'algèbre de Lie du groupe de Heisenberg), obtenu en identifiant l'élément central de l'algèbre de Heisenberg (c'est-à-dire le crochet de Lie [X,Y]) à l'élément unité de l'algèbre enveloppante.
L' algèbre de Weyl est un exemple d'anneau simple qui n'est pas un anneau de matrices sur un corps gauche. c'est aussi un anneau sans diviseur de zéro non commutatif, et un exemple d'.
L'algèbre de Weyl est également appelée algèbre de Clifford symplectique, les algèbres de Weyl étant aux formes bilinéaires symplectiques ce que les algèbres de Clifford sont aux formes bilinéaires symétriques non dégénérées.
L'algèbre de Weyl est la première d'une famille infinie ; la n-ième algèbre de Weyl, An, est l'anneau des opérateurs différentiels à coefficients polynomiaux en n variables. Elle est engendrée par Xi et ∂Xi, i = 1, ..., n.
On a de même une construction abstraite des An : partant d'un espace vectoriel symplectique V de dimension 2n muni d'une forme symplectique (bilinéaire alternée non dégénérée) ω, on définit l'algèbre de Weyl W(V) comme étant
où T(V) est l'algèbre tensorielle sur V, et où désigne .
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