En mathématiques, une algèbre tensorielle est une algèbre sur un corps dont les éléments (appelés tenseurs) sont représentés par des combinaisons linéaires de « mots » formés avec des vecteurs d'un espace vectoriel donné. Les seules relations de dépendance linéaire entre ces mots sont induites par les combinaisons linéaires entre les vecteurs.
Si l'espace vectoriel sous-jacent est muni d'une base, son algèbre tensorielle s'identifie avec l'algèbre associative unitaire libre engendrée par cette base. Si cette base est finie, les tenseurs s'identifient avec des tableaux de coordonnées.
L'algèbre tensorielle permet d'étendre en morphismes d'algèbres toutes les applications linéaires d'un espace vectoriel vers les algèbres associatives unitaires. À ce titre, la construction de l'algèbre tensorielle sur un espace vectoriel est adjointe à gauche à l'oubli de la structure multiplicative.
Divers quotients de l'algèbre tensorielle constituent l'algèbre symétrique, l'algèbre extérieure...
Un mot sur un ensemble est une suite finie d'éléments de cet ensemble, souvent notée sans séparateurs ni parenthèses. L'algèbre libre sur un ensemble est l'espace vectoriel des familles presque nulles indexées par les mots sur , muni de la multiplication induite par la concaténation. Chaque mot est identifié avec la suite qui vaut 1 en et 0 partout ailleurs.
La non-commutativité des lettres d'un mot empêche certaines simplifications usuelles comme dans l'égalité suivante :
Il n'y a pas d'annulation de (−) par (+), a contrario de l'identité remarquable valable pour les nombres réels ou complexes.
Pour définir l'algèbre tensorielle sur un espace vectoriel , il suffit de considérer l'algèbre libre engendrée par tous les éléments de puis de la quotienter par l'idéal bilatère engendré par les relations linéaires sur . L'algèbre quotient est notée . Dans ce cadre, les vecteurs servant de lettres dans chaque mot sont souvent séparées par le symbole du produit tensoriel, semblable à la croix de multiplication inscrite dans un cercle.
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En mathématiques, et plus précisément en algèbre et en analyse vectorielle, l'algèbre extérieure d'un espace vectoriel E est une algèbre associative graduée, notée . La multiplication entre deux éléments a et b est appelée le produit extérieur et est notée . Le carré de tout élément de E est zéro (), on dit que la multiplication est alternée, ce qui entraîne que pour deux éléments de E : (la loi est « anti-commutative »). L'algèbre extérieure est aussi appelée algèbre de Grassmann nommée ainsi en l'honneur de Hermann Grassmann.
En mathématiques, la notion de coalgèbre est une notion duale de celle d'algèbre sur un anneau ou sur un corps. Informellement, une algèbre A est un espace vectoriel (ou un -module) qui est muni en plus d'une multiplication, c'est-à-dire d'une application qui compose deux éléments de A pour en construire un troisième. Une coalgèbre C est donc un espace vectoriel (ou un -module) muni d'une comultiplication, c'est-à-dire-d'une application qui prend un élément de C et qui en retourne deux. Soit K un corps.
En mathématiques, l'algèbre symétrique est une algèbre sur un corps associative, commutative et unifère utilisée pour définir des polynômes sur un espace vectoriel. L'algèbre symétrique est un outil important dans la théorie des algèbres de Lie et en topologie algébrique dans la théorie des classes caractéristiques. Soit E un espace vectoriel, l'algèbre symétrique de E, notée, S (E) ou Sym (E) est l'algèbre quotient de l'algèbre tensorielle T (E) par l'idéal bilatère I (E) engendré par les éléments où u et v sont des éléments de E.