Résumé
Un principe variationnel est un principe physique s'exprimant sous une forme variationnelle et duquel, dans un domaine précis de la physique (mécanique, optique géométrique, électromagnétisme, etc), de nombreuses propriétés peuvent être déduites. Dans de nombreux cas, la résolution des équations se ramène à la recherche de géodésiques dans un espace approprié (en général l'espace des états du système physique étudié), sachant que ces géodésiques sont les extrémales d'une certaine intégrale représentant la longueur de l'arc joignant les points fixes dans cet espace abstrait. Les équations d'Euler-Lagrange sont l’archétype des méthodes utilisées pour résoudre les équations dans ce cadre. L'étude variationnelle au premier ordre permet de déterminer l'évolution du système physique considéré, l'étude au second ordre permet d'étudier la stabilité des équilibres. Parmi ces principes on trouve le principe de moindre action et le principe de Fermat. principe de Fermat thumb|upright=0.45|right|Pierre de Fermat (1601–1665) En optique géométrique, le principe de Fermat affirme que, dans un milieu isotrope, le chemin suivi par la lumière entre deux point fixes P et Q est celui qui rend minimal le temps de parcours, c'est-à-dire qui rend extrémale l'intégrale où élément infinitésimal du chemin allant de P à Q, c = célérité de la lumière, et intervalle infinitésimal de temps nécessaire pour parcourir l'intervalle . Ce qui s'exprime par où le symbole indique qu'il est en fait une infime variation du trajet emprunté pour aller de P à Q. La vitesse de phase de la lumière, autrement dit sa vitesse de propagation, peut varier en chaque point, mais non avec la direction du rayon en ce point (isotropie). Cette équation exprime que la variation (indiquée par la lettre grecque ) d'une intégrale curviligne est nulle, c'est-à-dire que la différence entre cette intégrale évaluée le long de la trajectoire réelle et l'intégrale évaluée le long de n'importe quelle trajectoire virtuelle infiniment voisine est un infiniment petit du second ordre.
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Concepts associés (13)
Équations de Lagrange
vignette|Joseph-Louis Lagrange Les équations de Lagrange, découvertes en 1788 par le mathématicien Joseph-Louis Lagrange, sont une reformulation de la mécanique classique. Il s'agit d'une reformulation de l'équation de Newton, qui ne fait pas intervenir les forces de réaction. Pour cela, on exprime les contraintes que subit la particule étudiée sous la forme d'équations du type : Il n'y a qu'une équation si le mouvement est contraint à une surface, deux s'il est contraint à une courbe.
Principe variationnel
Un principe variationnel est un principe physique s'exprimant sous une forme variationnelle et duquel, dans un domaine précis de la physique (mécanique, optique géométrique, électromagnétisme, etc), de nombreuses propriétés peuvent être déduites. Dans de nombreux cas, la résolution des équations se ramène à la recherche de géodésiques dans un espace approprié (en général l'espace des états du système physique étudié), sachant que ces géodésiques sont les extrémales d'une certaine intégrale représentant la longueur de l'arc joignant les points fixes dans cet espace abstrait.
Hamilton's principle
In physics, Hamilton's principle is William Rowan Hamilton's formulation of the principle of stationary action. It states that the dynamics of a physical system are determined by a variational problem for a functional based on a single function, the Lagrangian, which may contain all physical information concerning the system and the forces acting on it. The variational problem is equivalent to and allows for the derivation of the differential equations of motion of the physical system.
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MSE-423: Fundamentals of solid-state materials
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PHYS-216: Mathematical methods for physicists
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