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Concept
Fraction unitaire
Résumé
Une fraction unitaire est un nombre rationnel écrit sous la forme d'une fraction où le numérateur est 1 et le dénominateur est un entier naturel non nul. Une fraction unitaire est par conséquent l'inverse d'un entier positif, 1/n, comme : 1/1, 1/2, 1/3, 1/42 etc.
Multiplier deux fractions unitaires quelconques donne pour résultat une autre fraction unitaire :
Par contre, additionner, soustraire, ou diviser deux fractions unitaires produit un résultat qui n'est généralement pas une fraction unitaire :
1/2 + 1/5 = 7/10
1/3 + 1/6 = 1/2
1/2 - 1/5 = 3/10
1/3 - 1/6 = 1/6
Les fractions unitaires jouent un rôle important dans l'arithmétique modulaire, comme elles peuvent être utilisées pour réduire la division modulaire lors du calcul des PGCD. Plus précisément, supposons que nous voulons exécuter des divisions par une valeur x, modulo y. Pour effectuer la division par x, bien défini modulo y, x et y doivent être premiers entre eux. Alors, en utilisant l'algorithme d'Euclide étendu pour les PGCD nous pouvons trouver a et b tels que
à partir de quoi, on déduit que
ou de manière équivalente
N'importe quel nombre rationnel positif peut être écrit comme la somme de fractions unitaires distinctes. Par exemple :
Les mathématiciens de l'Égypte ancienne utilisaient les sommes de fractions unitaires distinctes dans leur notation pour les nombres rationnels plus généraux, ainsi de telles sommes sont souvent appelées des fractions égyptiennes. De nos jours, il existe toujours un intérêt dans l'analyse des méthodes utilisées par les anciens pour choisir parmi les représentations possibles d'un nombre fractionnaire, et pour calculer avec de telles représentations. Le sujet des fractions égyptiennes est aussi à l'étude dans la théorie des nombres moderne ; par exemple, la conjecture d'Erdős-Graham et la conjecture d'Erdős-Straus concernent les sommes de fractions unitaires, de même que la définition des nombres harmoniques de Ore.
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