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Concept
Module plat
Résumé
La notion de module plat a été introduite et utilisée, en géométrie algébrique, par Jean-Pierre Serre. Cette notion se trouve également dans un ouvrage contemporain d'Henri Cartan et Samuel Eilenberg en algèbre homologique. Elle généralise les modules projectifs et a fortiori les modules libres. En algèbre commutative et en géométrie algébrique, cette notion a été notamment exploitée par Alexander Grothendieck et son école, et s'est révélée d'une importance considérable.
Un module M sur un anneau commutatif (unitaire) A est dit plat si le foncteur produit tensoriel avec M est exact, c'est-à-dire pour toute suite exacte
de A-modules, la suite obtenue par produit tensoriel
reste exacte. Comme le produit tensoriel est exact à droite pour tout module, la propriété revient à dire que pour tout morphisme injectif de A-modules N → L, l'application induite N⊗M → L⊗M est injective.
La notion de platitude se définit de la même façon pour les modules sur un anneau unitaire non nécessairement commutatif.
On dit qu'un morphisme d'anneaux φ : A → B est plat si B est plat pour la structure de A-module induite par φ. On dit aussi que B est plat sur A, le morphisme φ étant sous-entendu.
Le Z-module Z/2Z n'est pas plat : l'application multiplication par 2, de Z dans Z, est injective, mais si on la tensorise par Z/2Z, elle devient nulle, alors que Z⊗( Z/2Z ) est non nul car isomorphe à Z/2Z. Donc l'application après tensorisation n'est plus injective. Plus généralement, tout A-module plat est sans torsion, c'est-à-dire que ax = 0 avec a∈A et x∈M n'est possible que si x = 0 ou si a est un diviseur de zéro dans A.
Tout module libre est plat. Ainsi, sur un corps, tout espace vectoriel est plat.
Tout module projectif est plat. La réciproque est fausse en général, mais un module plat de présentation finie est toujours projectif.
Sur un anneau de Dedekind A, tout module plat de type fini est isomorphe à An⊕I pour un entier positif ou nul n et un idéal I de A.
Tout morphisme de localisation A → S-1A est plat.
Supposons A noethérien local d'idéal maximal .
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