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Concept
Série alternée
Résumé
En mathématiques, et plus particulièrement en analyse, une série alternée est un cas particulier de série à termes réels, dont la forme particulière permet d'avoir des résultats de convergence notables. Une série à termes réels est dite alternée si ses termes sont de signes alternés, c'est-à-dire si elle est de la forme :
avec ai des nombres réels positifs.
Le principal critère de convergence concernant les séries alternées permet de montrer que certaines séries alternées non absolument convergentes sont convergentes, notamment la série harmonique alternée. De tels exemples appartiennent à la famille des séries semi-convergentes. Dans ce cas, un théorème de Riemann assure que l'on peut toujours réordonner les termes de la série pour la faire converger vers n'importe quel réel, et même diverger.
Une suite est dite alternée si :
ou .
Lorsque la suite est à valeurs non nulles, cette définition équivaut à :
Une série réelle est dite alternée si la suite l'est.
Plus directement : une série alternée est une série de réels telle que soit de signe constant, c'est-à-dire telle que tous les termes d'indice pair sont positifs et les termes d'indice impair négatifs, ou l'inverse.
Un exemple classique de série alternée est la série :On peut noter que cette série ne converge pas absolument car la série harmonique ne converge pas.
Un exemple du même type est la formule de Leibniz
Il existe un critère de convergence spécifique aux séries alternées. Ce critère porte parfois le nom de règle de Leibniz, le mathématicien et philosophe Gottfried Wilhelm Leibniz en ayant fourni la première démonstration.
Ce critère s'accompagne d'un résultat de majoration pour la valeur absolue du reste de la série, qui permet par exemple d'effectuer l'étude du signe de la somme de la série, ou d'écrire un algorithme de calcul approché de cette somme.
Soit une série alternée telle que :
(les termes généraux décroissent en valeur absolue) ;
(le terme général tend vers 0),
alors la série est convergente et la somme de cette série est toujours encadrée par les sommes partielles successives.
Source officielle
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