Arithmétique modulaire

En mathématiques et plus précisément en théorie algébrique des nombres, l’arithmétique modulaire est un ensemble de méthodes permettant la résolution de problèmes sur les nombres entiers. Ces méthodes dérivent de l’étude du reste obtenu par une division euclidienne. L'idée de base de l'arithmétique modulaire est de travailler non sur les nombres eux-mêmes, mais sur les restes de leur division par quelque chose. Quand on fait par exemple une preuve par neuf à l'école primaire, on effectue un peu d'arithmétique modulaire sans le savoir : le diviseur est alors le nombre 9. Si ses origines remontent à l’Antiquité, les historiens associent généralement sa naissance à l’année 1801, date de la publication du livre Disquisitiones arithmeticae de Carl Friedrich Gauss. Sa nouvelle approche permet d’élucider de célèbres conjectures et simplifie les démonstrations d’importants résultats par une plus grande abstraction. Si le domaine naturel de ces méthodes est la théorie des nombres, les consé

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Trace maps for Mackey algebras

Baptiste Thierry Pierre Rognerud

Let G be a finite group and R be a commutative ring. The Mackey algebra μR(G) shares a lot of properties with the group algebra RG however, there are some differences. For example, the group algebra is a symmetric algebra and this is not always the case for the Mackey algebra. In this paper we present a systematic approach to the question of the symmetry of the Mackey algebra, by producing symmetric associative bilinear forms for the Mackey algebra. Using the fact that the category of Mackey functors is a closed symmetric monoidal category, we prove that the Mackey algebra μR(G) is a symmetric algebra if and only if the family of Burnside algebras RB(H) for H≤G is a family of symmetric algebras with a compatibility condition. As a corollary, we recover the well known fact that over a field of characteristic zero, the Mackey algebra is always symmetric. Over the ring of integers the Mackey algebra of G is symmetric if and only if the order of G is square free. Finally, if (K, O, k) is a p-modular system for G, we show that the Mackey algebras μO(G) and μk(G) are symmetric if and only if the Sylow p-subgroups of G are of order 1 or p.

Elsevier2015

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Equivalences between blocks of p-local Mackey algebras

Baptiste Thierry Pierre Rognerud

Let G be a finite group and (K, O, k) be a p-modular system. Let R = O or k. There is a bijection between the blocks of the group algebra and the blocks of the so-called p-local Mackey algebra mu(1)(R)(G). Let b be a block of RG with abelian defect group D. Let b' be its Brauer correspondant in N-G(D). It is conjectured by Broue that the blocks RGb and RNG(D)b' are derived equivalent. Here we look at equivalences between the corresponding blocks of p-local Mackey algebras. We prove that an analogue of the Broue's conjecture is true for the p-local Mackey algebras in the following cases: for the principal blocks of p-nilpotent groups and for blocks with defect 1.

Elsevier2015

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Generalized Norm-compatible Systems on Unitary Shimura Varieties

Mohamed Réda Boumasmoud

We define and study in terms of integral IwahoriâHecke algebras a new class of geometric operators acting on the Bruhat-Tits building of connected reductive groups over p-adic fields. These operators, which we call U-operators, generalize the geometric notion of "successors" for trees with a marked end. The first main contributions of the thesis are: (i) the integrality of the U-operator over the spherical Hecke algebra using the compatibility between Bernstein and Satake homomorphisms, (ii) in the unramified case, the U-operator attached to a cocharacter is a right root of the corresponding Hecke polynomial. In the second part of the thesis, we study some arithmetic aspects of special cycles on (products of) unitary Shimura varieties, these cycles are expected to yield new results towards the BlochâBeilinson conjectures. As a global application of (ii), we obtain: (iii) the horizontal norm relations for these GGP cycles for arbitrary n, at primes where the unitary group splits. The general local theory developed in the first part of the thesis, has the potential to result in a number of global applications along the lines of (iii) (involving other Shimura varieties and also vertical norm relations) and offers new insights into topics such as the BlasiusâRogawski conjecture as well.

EPFL2019

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Nombre premier

vignette|Nombres naturels de zéro à cent. Les nombres premiers sont marqués en rouge. vignette|Le nombre 7 est premier car il admet exactement deux diviseurs positifs distincts. Un nombre premier est

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