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Concept
Division euclidienne
Résumé
thumb|Écriture de la division euclidienne de 30 par 7, le quotient est 4 et le reste 2.En mathématiques, et plus précisément en arithmétique, la division euclidienne ou division entière est une procédure de calcul qui, à deux entiers naturels appelés dividende et diviseur, associe deux autres entiers appelés quotient (quotient euclidien s'il y a ambiguïté) et reste. Initialement définie pour deux entiers naturels non nuls, elle se généralise aux entiers relatifs. Cette division est au fondement des théorèmes de l'arithmétique élémentaire et de l'arithmétique modulaire qui traite des congruences sur les entiers.
La division euclidienne s'étend aussi à d'autres anneaux, comme celui des polynômes, dits anneaux euclidiens.
thumb|Comment distribuer équitablement 30 billes entre 7 personnes ? Distribuer 4 billes à chacun et il reste 2 billes.30 = 7 × 4 + 2.
La division euclidienne permet de répondre à des questions du type suivant :
Distribution équitable : Comment distribuer équitablement 30 billes entre 7 personnes ?
On donne 1 bille à chacune des 7 personnes. On a alors distribué 7 billes. Il reste 23 billes.
On recommence en distribuant encore 1 bille à chacune des 7 personnes. Celles-ci possèdent alors chacune 2 billes et il en reste 16 dans le sac...
Finalement, chaque personne possède 4 billes et il en reste 2 dans le sac.
On dit alors que la division de 30 par 7 a pour quotient 4 et pour reste 2 et l'on écrit :
On aurait pu, à chaque étape, écrire :
Ces égalités sont exactes mais ne correspondent pas à une division euclidienne, celle-ci consistant à "épuiser" les billes entre les joueurs. La distribution ne sera complète que lorsque le nombre de billes restantes sera inférieur au nombre de joueurs, ici 7. Le principe même de cette division interdit que l'on puisse diviser un nombre par 0.
Le nom de division euclidienne est un hommage rendu à Euclide qui pose les fondements de l'arithmétique dans ses Éléments. Mais elle apparaît très tôt dans l'histoire des mathématiques.
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