Image réciproque (géométrie différentielle)

En mathématiques, la construction d'une image réciproque pour certains objets est une des opérations de base de la géométrie différentielle. Elle permet d'obtenir un nouvel objet, résultant du « transport » de l'objet initial par une certaine application. On considère ainsi les images réciproques des formes différentielles, des fibrés et de leurs sections et de façon générale tous les objets qui peuvent être composés à droite par l'application de transport. On utilise également le terme anglais pullback ou sa traduction littérale : le tiré en arrière d'un certain objet. La notation consacrée est pour l'image réciproque de T par f. Il existe une opération duale, l'image directe (ou pushforward), consistant à réaliser une composition à gauche. Le résultat se note alors . Dans le cas où l'application de transport est un difféomorphisme, ces deux opérations sont simultanément définies sur les mêmes objets. Un des emplois possibles de ces deux transformations est l'écriture de changements de systèmes de coordonnées locales. On peut notamment s'en servir pour formuler des propriétés d'invariance de certaines quantités. Avant de passer au cadre des variétés différentielles, l'image réciproque peut être introduite comme une opération d'algèbre multilinéaire. Si u est une application linéaire d'un espace vectoriel E dans F et si ω est une forme k-linéaire sur F, on définit la forme linéaire image réciproque , k-linéaire sur E, par la relation On note que pour « ramener ω en arrière », c'est-à-dire sur E, il a fallu au contraire transporter les vecteurs « vers l'avant » ; cela illustre la dualité entre les comportements covariant et contravariant. L'opération image réciproque est de nature fonctorielle ; elle est en effet compatible avec la composition : Dans le cas où k=1 (forme linéaire) on retrouve la définition de l'application transposée. Soit une application entre deux ouverts d'espaces euclidiens. On peut introduire l'image réciproque par f d'un champ tensoriel A de type (0,k), c'est-à-dire k fois covariant sur V.