Reste

En mathématiques, le résultat d’une division est un quotient et un reste. Le reste est nul si le quotient des deux nombres de la division est exact, sinon ce quotient est approximatif. Une division est dite euclidienne quand son dividende, son diviseur et son quotient sont des nombres entiers naturels. Dans une division euclidienne, le produit du quotient et du diviseur plus le reste est égal au dividende, et le reste est un entier naturel strictement inférieur au diviseur. Un nombre entier est multiple d’un autre entier non nul si et seulement si, dans une division euclidienne, le quotient de la valeur absolue du premier par la valeur absolue du second est exact, autrement dit, si et seulement si le reste de cette division euclidienne est nul. En informatique, un tel reste est obtenu par l'opérateur modulo. Si a et d sont des entiers naturels, avec d différent de zéro, il est prouvé qu'il existe deux entiers uniques q et r, tel que a = qd + r et 0 ≤ r < d. Le nombre q est appelé le quotient, alors que r est le reste. La division euclidienne donne une preuve de ce résultat, tout comme une méthode pour l'obtenir. En divisant 13 par 10, on obtient 1 comme quotient et 3 comme reste, car 13 = 1×10 + 3. En divisant 26 par 4, on obtient 6 comme quotient et 2 comme reste, car 26 = 6×4 + 2. En divisant 56 par 7, on obtient 8 comme quotient et 0 comme reste, car 56 = 7×8 + 0. Si a et d sont des entiers relatifs, avec d différent de zéro, alors le reste r est un entier tel que a = qd + r, q étant un entier et 0 ≤ |r| < |d|. Cette définition permet de former deux restes différents pour la même division. Par exemple, la division de −42 par −5 s'exprime par −42 = 9×(−5) + 3 ou −42 = 8×(−5) + (−2). Le reste est 3 ou −2. Cette ambiguïté est peu importante en pratique. En effet, en soustrayant 5 du reste positif, d, on obtient le reste négatif. Cela est vrai en général. En divisant par d, si le reste positif est nommé r1, et le reste négatif est nommé r2, alors r1 = r2 + d.