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Concept
Opérateur de Hecke
Résumé
En mathématiques, en particulier dans la théorie des formes modulaires, un opérateur de Hecke, étudié par Erich Hecke, est un certain type d'opérateur de « moyennage » qui joue un rôle important dans la structure des espaces vectoriels de formes modulaires et de représentations automorphes plus générales.
Mordell (1917) a utilisé les opérateurs de Hecke sur les formes modulaires dans un article sur les formes paraboliques spéciales de Ramanujan, bien avant la théorie générale développée par Hecke (1937a, 1937b). En donnant une expression des coefficients de la forme de Ramanujan
Mordell a démontré que la fonction tau de Ramanujan est une fonction multiplicative :
L'idée remonte en fait aux travaux antérieurs d'Adolf Hurwitz, qui traitait des correspondances algébriques entre des courbes modulaires, que réalisent certains opérateurs de Hecke particuliers.
Les opérateurs de Hecke peuvent être réalisés dans plusieurs contextes. La définition la plus simple est combinatoire : étant donné un entier , à une fonction , définie sur l'ensemble des réseaux de rang donné, on associe
où la somme porte sur tous les qui sont des sous-groupes de d'indice . Par exemple, pour un réseau de rang deux avec , il y a trois tels . Les formes modulaires sont des fonctions d'un genre particulier définies sur l'ensemble des réseaux, soumises à des conditions qui en font des fonctions analytiques et homogènes par rapport aux homothéties, ainsi qu'à une croissance modérée à l'infini ; ces conditions sont préservées par addition, de sorte que les opérateurs de Hecke préservent l'espace des formes modulaires d'un poids donné.
Une autre façon d'exprimer les opérateurs de Hecke consiste à utiliser des doubles classes dans le groupe modulaire. Dans l'approche adélique contemporaine, cela se traduit par des doubles classes par rapport à certains sous-groupes compacts.
Soit l'ensemble des matrices entière de déterminant et soit le groupe modulaire complet .
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