Commande LQ

En automatique, la Commande linéaire quadratique, dite Commande LQ, est une méthode qui permet de calculer la matrice de gains d'une commande par retour d'état. L'initiateur de cette approche est Kalman, auteur de trois articles fondamentaux entre 1960 et 1964. Les résultats de Kalman ont été complétés par de nombreux auteurs. Nous ne traiterons ici que de la commande linéaire quadratique à horizon infini dans le cas d'un système linéaire stationnaire (ou « invariant »), renvoyant à l'article Commande optimale pour le cas d'un horizon fini et d'un système linéaire dont les matrices varient en fonction du temps. L'idée consiste à minimiser un critère de performance , quadratique en l'état x et la commande u, et qui est une somme pondérée de l'énergie de x et de celle de u. Le but de la commande consiste, à la suite d'une perturbation, à ramener, de préférence aussi rapidement que possible, l'état à sa valeur d'équilibre 0, compte tenu des contraintes liées à un cahier des charges. Si, dans , on privilégie l'énergie de x, c'est celle-ci qui va être essentiellement minimisée, au détriment de l'énergie de la commande, qui pourra donc être très grande: c'est l'adage « qui veut la fin veut les moyens »; dans ce cas la commande sera très nerveuse (à grands gains). Si au contraire on privilégie dans l'énergie de u, on met l'accent sur l'économie des moyens; on obtiendra donc une commande de faible énergie, molle, pour laquelle la dynamique de la boucle fermée sera lente. Le rôle du concepteur consiste à choisir habilement les matrices de pondérations qui interviennent dans le critère, de manière à obtenir in fine, après un certain nombre d'essais-erreurs, le comportement souhaité du système en boucle fermée. Notons que, quelle que soit la méthode employée pour la conception d'un régulateur, des essais-erreurs sont inévitables. Dans le cas de la commande linéaire quadratique, avec un minimum d'expérience, les essais-erreurs convergent très rapidement.