Concept

Complete topological vector space

Concepts associés (36)

Graph Chatbot

Chattez avec Graph Search

Posez n’importe quelle question sur les cours, conférences, exercices, recherches, actualités, etc. de l’EPFL ou essayez les exemples de questions ci-dessous.

AVERTISSEMENT : Le chatbot Graph n'est pas programmé pour fournir des réponses explicites ou catégoriques à vos questions. Il transforme plutôt vos questions en demandes API qui sont distribuées aux différents services informatiques officiellement administrés par l'EPFL. Son but est uniquement de collecter et de recommander des références pertinentes à des contenus que vous pouvez explorer pour vous aider à répondre à vos questions.

Connectez-vous pour utiliser Chat avec Graph Search

Partie bornée d'un espace vectoriel topologique

En analyse fonctionnelle et dans des domaines mathématiques reliés, une partie d'un espace vectoriel topologique est dite bornée (au sens de von Neumann) si tout voisinage du vecteur nul peut être dilaté de manière à contenir cette partie. Ce concept a été introduit par John von Neumann et Andreï Kolmogorov en 1935. Les parties bornées sont un moyen naturel de définir les (localement convexes) sur les deux espaces vectoriels d'une paire duale.

Filters in topology

Filters in topology, a subfield of mathematics, can be used to study topological spaces and define all basic topological notions such as convergence, continuity, compactness, and more. Filters, which are special families of subsets of some given set, also provide a common framework for defining various types of limits of functions such as limits from the left/right, to infinity, to a point or a set, and many others. Special types of filters called have many useful technical properties and they may often be used in place of arbitrary filters.

Espace de suites ℓp

En mathématiques, l'espace est un exemple d'espace vectoriel, constitué de suites à valeurs réelles ou complexes et qui possède, pour 1 ≤ p ≤ ∞, une structure d'espace de Banach. Considérons l'espace vectoriel réel R, c'est-à-dire l'espace des n-uplets de nombres réels. La norme euclidienne d'un vecteur est donnée par : Mais pour tout nombre réel p ≥ 1, on peut définir une autre norme sur R, appelée la p-norme, en posant : pour tout vecteur . Pour tout p ≥ 1, R muni de la p-norme est donc un espace vectoriel normé.

Quasi-complete space

In functional analysis, a topological vector space (TVS) is said to be quasi-complete or boundedly complete if every closed and bounded subset is complete. This concept is of considerable importance for non-metrizable TVSs. Every quasi-complete TVS is sequentially complete. In a quasi-complete locally convex space, the closure of the convex hull of a compact subset is again compact. In a quasi-complete Hausdorff TVS, every precompact subset is relatively compact.

Espace précompact

En topologie, une branche des mathématiques, un espace métrique E est précompact si, pour tout ε > 0, on peut recouvrir E par un nombre fini de boules de rayon ε. La propriété principale est qu'un espace métrique est compact si et seulement s'il est précompact et complet. La notion de précompacité et ses propriétés se généralisent aux espaces uniformes. Soit E un espace métrique. Si l'une des trois propriétés suivantes est vérifiée, alors toutes trois le sont et E est dit précompact.

Théorème de Banach-Alaoglu-Bourbaki

Le théorème de Banach-Alaoglu-Bourbaki est un résultat de compacité en analyse fonctionnelle, dû à Stefan Banach dans le cas d'un espace vectoriel normé séparable et généralisé en 1938 par Leonidas Alaoglu puis Nicolas Bourbaki. Si E est un R-espace vectoriel topologique et V un voisinage de 0, alors l'ensemble polaire V° de V, défini par est une partie compacte du dual topologique E' pour la topologie faible-*.

Projective tensor product

In functional analysis, an area of mathematics, the projective tensor product of two locally convex topological vector spaces is a natural topological vector space structure on their tensor product. Namely, given locally convex topological vector spaces and , the projective topology, or π-topology, on is the strongest topology which makes a locally convex topological vector space such that the canonical map (from to ) is continuous. When equipped with this topology, is denoted and called the projective tensor product of and .

Injective tensor product

In mathematics, the injective tensor product of two topological vector spaces (TVSs) was introduced by Alexander Grothendieck and was used by him to define nuclear spaces. An injective tensor product is in general not necessarily complete, so its completion is called the . Injective tensor products have applications outside of nuclear spaces.

Complemented subspace

In the branch of mathematics called functional analysis, a complemented subspace of a topological vector space is a vector subspace for which there exists some other vector subspace of called its (topological) complement in , such that is the direct sum in the category of topological vector spaces. Formally, topological direct sums strengthen the algebraic direct sum by requiring certain maps be continuous; the result retains many nice properties from the operation of direct sum in finite-dimensional vector spaces.

Sequentially complete

In mathematics, specifically in topology and functional analysis, a subspace S of a uniform space X is said to be sequentially complete or semi-complete if every Cauchy sequence in S converges to an element in S. X is called sequentially complete if it is a sequentially complete subset of itself. Every topological vector space is a uniform space so the notion of sequential completeness can be applied to them. A bounded sequentially complete disk in a Hausdorff topological vector space is a Banach disk.