Inégalité triangulaire

En géométrie, l'inégalité triangulaire est le fait que, dans un triangle, la longueur d'un côté est inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés. Cette inégalité est relativement intuitive. Dans la vie ordinaire, comme dans la géométrie euclidienne, cela se traduit par le fait que la ligne droite est le plus court chemin : le plus court chemin d'un point A à un point B est d'y aller tout droit, sans passer par un troisième point C qui ne serait pas sur la ligne droite. De façon plus abstraite, cette inégalité correspond au fait que la distance directe est une valeur minimale de distance. Elle est aussi une propriété ou condition nécessaire à la définition d'une bonne distance. Cette distance est un choix possible en métrique mathématique, mais pas forcément le meilleur, suivant les cas et les usages. Énoncés En géométrie Dans un plan euclidien, soit un triangle ABC. Alors les longueurs AB, AC et BC vérifient les trois inégalités suivantes :

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Obstacles For Splitting Multidimensional Necklaces

Michal Lason

The well-known "necklace splitting theorem" of Alon (1987) asserts that every k-colored necklace can be fairly split into q parts using at most t cuts, provided k(q - 1) t + 2 is a sufficient condition (while k > t is necessary). We generalize this result to Euclidean spaces of arbitrary dimension d, and to arbitrary number of parts q. We prove that if k(q - 1) > t + d + q - 1, then there is a measurable k-coloring of R-d such that no axis-aligned cube has a fair q-splitting using at most t axis-aligned hyperplane cuts. Our bound is of the same order as a necessary condition k(q - 1) > t implied by Alon's 1987 work. Moreover, for d = 1, q = 2 we get exactly the result of the 2009 work. Additionally, we prove that if a stronger inequality k(q - 1) > dt + d + q - 1 is satisfied, then there is a measurable k-coloring of R-d with no axis-aligned cube having a fair q-splitting using at most t arbitrary hyperplane cuts. The proofs are based on the topological Baire category theorem and use algebraic independence over suitably chosen fields.

Amer Mathematical Soc2015

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Cloaking property of a plasmonic structure in doubly complementary media and three-sphere inequalities with partial data

Hoài-Minh Nguyên

We investigate cloaking property of negative-index metamaterials in the time-harmonic electromagnetic setting for the so-called doubly complementary media. These are media consisting of negative-index metamaterials in a shell (plasmonic structure) and positive-index materials in its complement for which the shell is complementary to a part of the core and a part of the exterior of the core-shell structure. We show that an arbitrary object is invisible when it is placed close to a plasmonic structure of a doubly complementary medium as long as its cross section is smaller than a threshold given by the property of the plasmonic structure. To handle the loss of the compactness and of the ellipticity of the modeling Maxwell equations with sign-changing coefficients, we first obtain Cauchy's problems associated with two Maxwell systems using reflections. We then derive information from them, and combine it with the removing localized singularity technique to deal with the localized resonance. A central part of the analysis on the Cauchy's problems is to establish three-sphere inequalities with partial data for general elliptic systems, which are interesting in themselves. The proof of these inequalities first relies on an appropriate change of variables, inspired by conformal maps, and is then based on Carleman's estimates for a class of degenerate elliptic systems.

2020

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on Non-Rank Facets of the Stable Set Polytope of Claw-Free Graphs and Circulant Graphs

Thomas Liebling, Gautier Stauffer

We deal with non-rank facets of the stable set polytope of claw-free graphs. We extend results of Gilles and Trotter (7) by (i) showing that for any nonnegative integer a there exists a circulant graph whose stable set polytope has a facet-inducing inequality with (a,a+1) valued coefficinets (rank facets have onnly coefficients 0, 1), and (ii) providing new facets of the stable set polytope with up to five different non-zero coefficients for claw-free graphs. We prove that coefficients have to be consecutive in any facet with exactly two different non-zero coefficients (assuming they are relatively prime). Last but not least, we present a complete description of the stable set polytope for graphs with stability number 2, already obseerved by Cook (3) and Shepperd (18)

2003

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Espace métrique

En mathématiques et plus particulièrement en topologie, un espace métrique est un ensemble au sein duquel une notion de distance entre les éléments de l'ensemble est définie. Les éléments seront, en

Espace vectoriel

vignette|Dans un espace vectoriel, on peut additionner deux vecteurs. Par exemple, la somme du vecteur v (en bleu) et w (en rouge) est v + w. On peut aussi multiplier un vecteur, comme le vecteur w qu

Valeur absolue

En mathématiques, la valeur absolue (parfois appelée module, c'est-à-dire ) d'un nombre réel est sa valeur numérique considérée sans tenir compte de son signe. On peut la comprendre comme sa distanc

MATH-201: Analysis III

Calcul différentiel et intégral: Eléments d'analyse vectorielle, intégration par partie, intégrale curviligne, intégrale de surface, théorèmes de Stokes, Green, Gauss, fonctions harmoniques; Eléments d'analyse complexe: fonctions holomorphes ou analytiques, théorème des résidus et applications

MATH-106(a): Analysis II

Étudier les concepts fondamentaux d'analyse, et le calcul différentiel et intégral des fonctions réelles de plusieurs variables.

MATH-101(en): Analysis I (English)

We study the fundamental concepts of analysis, calculus and the integral of real-valued functions of a real variable.