Concept

Théorèmes de Sylow

Résumé
En théorie des groupes finis, les théorèmes de Sylow forment une réciproque partielle du théorème de Lagrange, d'après lequel, si H est sous-groupe d'un groupe fini G, alors l'ordre de H divise l'ordre de G. Ces théorèmes garantissent, pour certains diviseurs de l'ordre de G, l'existence de sous-groupes d'ordre égal à ces diviseurs, et donnent une information sur le nombre de ces sous-groupes. Ces théorèmes portent le nom du mathématicien norvégien Ludwig Sylow, qui les démontra en 1872. Par la suite, ils ont été partiellement généralisés au cas des groupes infinis. Définition Soit p un nombre premier et G un groupe fini ; alors nous définissons un p-sous-groupe de Sylow de G comme un élément maximal de l'ensemble des p-sous-groupes de G, ordonné par inclusion. Autrement dit, c'est un p-sous-groupe de G qui n'est contenu dans aucun autre p-sous-groupe de G. Tout p-sous-groupe de G est inclus dans un p-sous-groupe maximal, ce qui garan
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