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Concept
Théorèmes de Sylow
Résumé
En théorie des groupes finis, les théorèmes de Sylow forment une réciproque partielle du théorème de Lagrange, d'après lequel, si H est sous-groupe d'un groupe fini G, alors l'ordre de H divise l'ordre de G. Ces théorèmes garantissent, pour certains diviseurs de l'ordre de G, l'existence de sous-groupes d'ordre égal à ces diviseurs, et donnent une information sur le nombre de ces sous-groupes.
Ces théorèmes portent le nom du mathématicien norvégien Ludwig Sylow, qui les démontra en 1872. Par la suite, ils ont été partiellement généralisés au cas des groupes infinis.
Soit p un nombre premier et G un groupe fini ; alors nous définissons un p-sous-groupe de Sylow de G comme un élément maximal de l'ensemble des p-sous-groupes de G, ordonné par inclusion. Autrement dit, c'est un p-sous-groupe de G qui n'est contenu dans aucun autre p-sous-groupe de G. Tout p-sous-groupe de G est inclus dans un p-sous-groupe maximal, ce qui garantit l'existence de p-sous-groupes de Sylow. L'ensemble (non vide, donc) de tous les p-sous-groupes de Sylow pour un entier premier p donné est parfois noté SylpG. On les appelle aussi plus simplement : les p-Sylow de G.
Les collections de sous-groupes maximaux, dans un sens ou un autre ne sont pas rares en théorie des groupes. Le résultat étonnant ici est que dans le cas de SylpG, tous les membres sont en fait conjugués entre eux (et donc isomorphes) et cette propriété peut être exploitée pour déterminer d'autres propriétés de G.
Les propositions suivantes furent présentées et démontrées par le mathématicien norvégien Ludwig Sylow en 1872.
En particulier, les deux premiers théorèmes impliquent que
les p-Sylow de G sont exactement ses sous-groupes d'ordre pn, par conséquent tout p-sous-groupe de G est inclus dans un sous-groupe d'ordre pn.
Par ailleurs, le deuxième théorème implique que tous les p-Sylow de G sont isomorphes, et que le normalisateur de chacun d'entre eux est d'indice np dans G.
Soit G un groupe d'ordre 15 = 3 · 5. Nous devons avoir n3 divise 5, et n3 ≡ 1 mod 3.
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