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Concept
Système à minimum de phase
Résumé
En traitement du signal et en théorie du contrôle, un système linéaire ne dépendant pas du temps est dit à minimum de phase si ce système et son inverse sont stables et causaux. On parle aussi de filtre à minimum de phase.
Pour un système discret, en supposant que la fonction de transfert est rationnelle, ce système est à minimum de phase si et seulement si tous les pôles et zéros de sont à l'intérieur du disque unité.
Pour un système continu, la condition pour que ce système soit à minimum de phase est que les pôles et zéros de transmission appartiennent au demi-plan gauche du plan complexe.
On considère dans ce qui suit un système discret, bien que l'interprétation se généralise pour un système continu.
Un système à minimum de phase a la propriété d'être le système qui, à une réponse en gain fixée, minimise le temps de propagation de groupe sur l'ensemble des fréquences.
Le déphasage à une pulsation est - à l'ajout d'une constante près - la somme des contributions de chaque zéro de . Soit un de ces zéros de module différent de 1, regardons de plus près sa contribution au temps de propagation de groupe. On note
apparaît dans la fonction de transfert par le facteur , dont la phase est
En dérivant l'arc tangente, on obtient que contribue au temps de propagation de groupe par :
Le dénominateur et restent inchangés par réflexion, c'est-à-dire en remplaçant par (les réflexions des zéros de permettent d'obtenir les autres fonctions de transfert ayant la même réponse en gain). Il y a deux possibilités selon que se trouve à l'intérieur ou à l'extérieur du disque unité : le choix permet de minimiser le temps de propagation de groupe.
Un système à minimum de phase répond à une impulsion en concentrant l'énergie près de 0. Pour une réponse en gain fixée, le système à minimum de phase est celui qui minimise :
pour n'importe quel ( est la réponse impulsionnelle).
Un système à non minimum de phase est un système causal et stable dont l'inverse est instable.
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