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Concept
Discriminant
Résumé
En mathématiques, le discriminant noté , ou le réalisant noté , est une notion algébrique. Il est utilisé pour résoudre des équations du second degré. Il se généralise pour des polynômes de degré > 0 quelconque et dont les coefficients sont choisis dans des ensembles munis d'une addition et d'une multiplication. Le discriminant apporte dans ce cadre une information sur l'existence ou l'absence de racine multiple.
Le discriminant est utilisé dans d'autres domaines que celui de l'étude des polynômes. Son usage permet de mieux comprendre les coniques et les quadriques en général. On le retrouve dans l'étude des formes quadratiques ou celle des corps de nombres dans le cadre de la théorie de Galois ou celle des nombres algébriques. Sa définition se fonde sur le calcul d'un déterminant.
L'histoire et la découverte du discriminant est un élément de l'histoire plus générale de l'algèbre et en particulier de la résolution des équations du second degré. Il apparait notamment lorsqu'on résout ces équations à l'aide d'identités remarquables.
Équation du second degré
Considérons une équation du second degré, ici a, b et c sont trois coefficients réels tel que a est différent de zéro :
La connaissance du discriminant permet de résoudre l'équation :
Dans ce dernier cas, le discriminant a toutefois une racine complexe et donc une solution complexe :
Racine d'un nombre complexe
Si les solutions nombres complexes de l'équation sont admises, ou si les coefficients a, b et c sont complexes, la situation est un peu différente. Le théorème de d'Alembert-Gauss précise qu'il existe toujours au moins une solution à l'équation. Dans l'ensemble des complexes, un nombre admet toujours deux racines carrées, il existe une valeur δ tel que son carré δ2 soit égal à Δ :
Le discriminant réduit apparait quand on écrit l'équation du second degré sous la forme
par un changement de variable
Dans ce cas les "2" et "4" apparaissant dans l’expression des solutions et du discriminant se simplifient et on obtient :
L'expression des racines, si elles existent, devient :
Cherchons à résoudre l'équation suivante :
Le calcul du discriminant Δ et des racines x1 et x2 donne :
Dans le cas de l'équation suivante, le discriminant réduit est nul et il n'existe qu'une racine, égale à –3.
Source officielle
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