Dimension de Krull

En mathématiques, et plus particulièrement en géométrie algébrique, la taille et la complexité d'une variété algébrique (ou d'un schéma) est d'abord mesurée par sa dimension. Elle est fondée sur la topologie de Zariski et coïncide avec l'intuition dans le cas des espaces affines. Espace topologique irréductible Soit un espace topologique. On dit que est irréductible si tout ouvert non vide de est partout dense dans . Cela revient à dire que si et sont deux parties fermées dont la réunion est égale à , alors l'une d'entre elles est égale à . Une partie de est dite irréductible si elle est irréductible pour la topologie induite. Dans un espace irréductible, tout ouvert non vide est dense. Un point d'un espace topologique est appelé un point générique si son adhérence est égale à tout entier. Si un point générique existe, est irréductible. Inversement, l'espace topologique sous-jacent à un schéma est irréductible si et seulement s'il admet un point générique. Celui-ci est alors unique. Exemples : Un singleton est irréductible. Un espace topologique séparé est irréductible si et seulement s'il est réduit à un point ; Le spectre Spec(A) d'un anneau commutatif (unitaire) A est irréductible si A est intègre. Le point correspondant à l'idéal nul est le point générique. Une composante irréductible de est une partie (nécessairement fermée) de irréductible et qui n'est strictement contenue dans aucune autre partie irréductible de . Le lemme de Zorn implique que tout point appartient à une composante irréductible (la partie {} est irréductible, et on considère l'ensemble des parties irréductibles contenant ). Ainsi est la réunion de ses composantes irréductibles. Dans le cas des variétés algébriques ou plus généralement des schémas noethériens, les composantes irréductibles sont en nombre fini. De plus, si un espace topologique ayant cette propriété de finitude est recouvert par un nombre fini de parties fermées irréductibles sans relation d'inclusion entre elles, alors ces parties fermées sont exactement les composantes irréductibles de .