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Concept
Théorème des fonctions implicites
Résumé
En mathématiques, le théorème des fonctions implicites est un résultat de géométrie différentielle. Certaines courbes planes sont définies par une équation cartésienne, c'est-à-dire une équation de la forme f(x, y) = 0, où x et y décrivent les nombres réels. Le théorème indique que si la fonction f est suffisamment régulière au voisinage d'un point de la courbe, il existe une fonction φ de R dans R au moins aussi régulière que f telle que localement, la courbe et le graphe de la fonction φ sont confondus. Plus précisément, si (x0, y0) vérifie l'équation, si f est continûment différentiable et si sa dérivée partielle par rapport à y en (x0, y0) n'est pas nulle alors, au voisinage de (x0, y0), la courbe s'identifie au graphe de φ.
Ce théorème admet une variante plus générale, qui s'applique non plus au plan, mais à des espaces de Banach, c'est-à-dire des espaces vectoriels normés complets. Il équivaut au théorème d'inversion locale, qui indique qu'une fonction différentiable et « suffisamment régulière » est localement inversible (c'est une conséquence directe d'un théorème du point fixe).
Ce théorème est utilisé dans différentes branches des mathématiques, sous cette forme ou sous celle de l'inversion locale. Il permet de démontrer le théorème des extrema liés ; il intervient dans un contexte plus géométrique, pour l'étude des sous-variétés différentielles ; on le trouve encore pour l'étude des équations différentielles où il est, entre autres, utilisé à travers le théorème du redressement d'un flot, permettant de démontrer le théorème de Poincaré-Bendixson. Il dépasse le cadre des mathématiques : les physiciens ou les économistes en font usage, lorsque certaines variables ne peuvent être définies à l'aide d'une fonction, mais uniquement implicitement à l'aide d'une équation.
Avant d'énoncer le théorème sous sa forme générale, prenons l'exemple de la dimension 2 :
La condition n'est pas explicitée car elle n'est qu'un cas particulier de l'équivalence. La dérivée de au point x est donnée par la formule :
Des exemples sont détaillés dans l'article « Fonction implicite ».
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