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Concept
Groupe parfait
Résumé
En théorie des groupes (mathématiques), un groupe est dit parfait s'il est égal à son dérivé.
Dans ce qui suit, le dérivé d'un groupe G sera noté D(G).
Si un groupe G est parfait, l'image de G par un homomorphisme est un groupe parfait. En particulier, tout groupe quotient d'un groupe parfait est parfait.En effet, si f est un homomorphisme d'un groupe G (quelconque) dans un autre groupe, on a toujours D(f(G)) = f(D(G)).
Si un groupe parfait G est sous-groupe d'un groupe H, il est contenu dans le dérivé de H.En effet, si un groupe G (quelconque) est sous-groupe de H, D(G) est contenu dans D(H). Si, de plus, G est parfait, ceci revient à dire que G est contenu dans D(H).
Tout groupe simple non commutatif est parfait.En effet, le groupe dérivé d'un groupe G est un sous-groupe normal de G, donc si G est simple, son dérivé D(G) doit être réduit à 1 ou égal à G. Puisque G est supposé non commutatif, D(G) n'est pas réduit à 1, donc D(G) = G.
De plus, dans un groupe fini simple non commutatif, tout élément est un commutateur. La démonstration de ce théorème, conjecturé par Øystein Ore en 1951, a été achevée en 2010.
L'essentiel de cet article de 1951 d'Øystein Ore était consacré à démontrer que dans le groupe symétrique infini S aussi, tout élément est un commutateur.
Un groupe résoluble non réduit à l'élément neutre n'est pas parfait.En effet, si G est un groupe parfait, la suite dérivée de G, c'est-à-dire la suite G, D(G), D(D(G)), ... plafonne à G, donc si, de plus, G n'est pas réduit à l'élément neutre, cette suite ne prend pas la valeur 1, donc G n'est pas résoluble.
Aucun groupe G tel que 1 < |G| < 60 n'est parfait.En effet, un tel groupe est résoluble, d'où la conclusion par le point précédent.
Soient K un corps commutatif et n un nombre naturel. Sauf dans le cas où n est égal à 2 et |K| à 2 ou à 3, le groupe spécial linéaire SL(n, K) est parfait.
Un groupe parfait non réduit à l'élément neutre n'est pas forcément simple.En effet, on sait que si K est un corps commutatif et n un nombre naturel, le centre SZ(n, K) de SL(n, K) est formé par les matrices scalaires de déterminant 1.
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