Théorie des catégories supérieuresEn mathématiques, la théorie des catégories supérieures est la partie de la théorie des catégories à un ordre supérieur, ce qui signifie que certaines égalités sont remplacées par des flèches explicites afin de pouvoir étudier explicitement la structure derrière ces égalités. La théorie des catégories supérieures est souvent appliquée en topologie algébrique (en particulier en théorie de l'homotopie ), où l'on étudie les invariants algébriques des espaces, tels que leur ∞-groupoïde fondamental faible.
Categorical logicNOTOC Categorical logic is the branch of mathematics in which tools and concepts from are applied to the study of mathematical logic. It is also notable for its connections to theoretical computer science. In broad terms, categorical logic represents both syntax and semantics by a , and an interpretation by a functor. The categorical framework provides a rich conceptual background for logical and type-theoretic constructions. The subject has been recognisable in these terms since around 1970.
2-catégorieEn mathématiques, et plus particulièrement en théorie des catégories, une 2-catégorie est une catégorie avec des « morphismes entre les morphismes », c'est-à-dire que chaque « ensemble des morphismes » transporte la structure d'une catégorie. Une 2-catégorie peut être formellement définie comme étant une catégorie enrichie au-dessus de Cat (la catégorie des catégories petites et les foncteurs entre elles), avec la structure monoïdale donnée par le produit de deux catégories.
Dual (category theory)In , a branch of mathematics, duality is a correspondence between the properties of a category C and the dual properties of the Cop. Given a statement regarding the category C, by interchanging the source and target of each morphism as well as interchanging the order of composing two morphisms, a corresponding dual statement is obtained regarding the opposite category Cop. Duality, as such, is the assertion that truth is invariant under this operation on statements.
Section (théorie des catégories)vignette|Ici, g est une section de f, et f est une rétraction de g. Dans le domaine mathématique de la théorie des catégories, si on a un couple de morphismes , tel que (le morphisme identité de Y, souvent réalisé par l'application identité sur Y), on dit que g est une section de f, et que f est une rétraction de g. En d'autres termes, une section est un inverse à droite, et une rétraction est un inverse à gauche (ce sont deux notions duales).
Opposite categoryIn , a branch of mathematics, the opposite category or dual category Cop of a given C is formed by reversing the morphisms, i.e. interchanging the source and target of each morphism. Doing the reversal twice yields the original category, so the opposite of an opposite category is the original category itself. In symbols, . An example comes from reversing the direction of inequalities in a partial order. So if X is a set and ≤ a partial order relation, we can define a new partial order relation ≤op by x ≤op y if and only if y ≤ x.
Catégorie enrichieUne catégorie enrichie sur une catégorie monoïdale , ou -catégorie est une extension du concept mathématique de catégorie, où les morphismes, au lieu de former une classe ou un ensemble dépourvu de structure, sont des éléments de . Le concept de catégorie enrichie part de l'observation que dans de nombreuses situations, les morphismes ont une structure naturelle d'espace vectoriel ou topologique. La catégorie doit être monoïdale afin de pouvoir définir la composition des morphismes, appelés dans ce cas hom-objets au lieu de hom-sets.
BicategoryIn mathematics, a bicategory (or a weak 2-category) is a concept in used to extend the notion of to handle the cases where the composition of morphisms is not (strictly) associative, but only associative up to an isomorphism. The notion was introduced in 1967 by Jean Bénabou. Bicategories may be considered as a weakening of the definition of 2-categories. A similar process for 3-categories leads to , and more generally to for . Formally, a bicategory B consists of: a, b, ... called 0-cells; morphisms f, g, .
Product categoryIn the mathematical field of , the product of two C and D, denoted C × D and called a product category, is an extension of the concept of the Cartesian product of two sets. Product categories are used to define bifunctors and multifunctors. The product category C × D has: as : pairs of objects (A, B), where A is an object of C and B of D; as arrows from (A1, B1) to (A2, B2): pairs of arrows (f, g), where f : A1 → A2 is an arrow of C and g : B1 → B2 is an arrow of D; as composition, component-wise composition from the contributing categories: (f2, g2) o (f1, g1) = (f2 o f1, g2 o g1); as identities, pairs of identities from the contributing categories: 1(A, B) = (1A, 1B).
Catégorie groupoïdeEn mathématiques, et plus particulièrement en théorie des catégories et en topologie algébrique, la notion de groupoïde généralise à la fois les notions de groupe, de relation d'équivalence sur un ensemble, et de l'action d'un groupe sur un ensemble. Elle a été initialement développée par Heinrich Brandt en 1927. Les groupoïdes sont souvent utilisés pour représenter certaines informations sur des objets topologiques ou géométriques comme les variétés. Un groupoïde est une petite catégorie dans laquelle tout morphisme est un isomorphisme.
