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Concept
Théorème d'Hurewicz
Résumé
En topologie algébrique, le cas le plus simple du théorème d'Hurewicz – attribué à Witold Hurewicz – est une description du premier groupe d'homologie singulière d'un espace topologique connexe par arcs à l'aide de son groupe fondamental.
Le groupe fondamental, en un point x, d'un espace X, est défini comme l'ensemble des classes d'homotopie de lacets de X en x, muni de la loi de concaténation des lacets. Il est noté π(X, x). Si X est connexe par arcs et si y est un autre point de X, les groupes π(X, x) et π(X, y) sont isomorphes : des isomorphismes peuvent être construits en utilisant un chemin de x à y. Cependant, de tels isomorphismes sont uniquement définis à conjugaison près.
Si G est un groupe, on note [G, G] le sous-groupe distingué de G engendré par les commutateurs de G, appelé groupe dérivé. Le groupe G := G/[G, G] s'appelle l'abélianisé de G. Plus grand quotient abélien de G, il est caractérisé par la propriété universelle suivante :
Tout morphisme de groupes de G dans un groupe abélien se factorise à travers Gab.
Un automorphisme intérieur de G préserve les commutateurs, et induit par passage au quotient l'identité sur l'abélianisé Gab.
Pour tout entier naturel q, on note H(X, Z) le q-ième groupe d'homologie singulière de X à coefficients entiers. En notant (X) la famille des composantes connexes par arcs de X, H(X, Z) est la somme directe des H(X, Z), ce qui permet de ramener l'étude de H(X, Z) au cas où X est connexe par arcs. Le théorème d'Hurewicz affirme dans ce cas l'existence d'un isomorphisme naturel de π(X, x) sur H(X, Z) :
Autrement dit, H(X, Z) est naturellement l'abélianisé de π(X, x). Plus exactement, on dispose de deux foncteurs covariants de la catégorie des espaces topologiques connexes par arcs dans la catégorie des groupes abéliens, à savoir :
Le foncteur H qui à un « objet » X associe H(X, Z) ;
La foncteur π qui à un « objet » X associe π(X, x) où le point de base x est choisi arbitraire.
Le théorème d'Hurewicz donne l'existence d'un isomorphisme de foncteurs Φ de π sur H.
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