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Concept
Degré d'un polynôme
Résumé
En algèbre commutative, le degré d'un polynôme (en une ou plusieurs indéterminées) est le degré le plus élevé de ses termes lorsque le polynôme est exprimé sous sa forme canonique constituée d'une somme de monômes. Le degré d'un terme est la somme des exposants des indéterminées qui y apparaissent. Le terme ordre a été utilisé comme synonyme de degré, mais de nos jours, il fait référence à des concepts différents, bien que connexes.
Par exemple, le polynôme 7XY + 4X – 9 a trois monômes. Le premier est de degré 2 + 3 = 5, le deuxième (4XY) de degré 1, et le dernier (–9XY) de degré 0. Par conséquent, le polynôme est de degré 5, qui est le degré le plus élevé de tous ses monômes.
Pour déterminer le degré d'un polynôme qui n'est pas sous forme standard — par exemple (X + 1) – (X – 1) — on doit d'abord le mettre sous forme standard en développant les produits (par distributivité) et en combinant les termes semblables ; par exemple, (X + 1) – (X – 1) = 4X, et son degré est 1, bien que chaque terme de la différence soit de degré 2. Toutefois, cela n'est pas nécessaire quand le polynôme est exprimé comme un produit de polynômes sous forme standard, du fait que le degré d'un produit est la somme des degrés de ses facteurs.
Les noms suivants sont affectés aux polynômes en fonction de leur degré :
cas particulier – nul (voir § Degré du polynôme nul ci-dessous)
degré 0 – constant
degré 1 – affine
degré 2 – quadratique
degré 3 – cubique
degré 4 – quartique
degré 5 – quintique
degré 6 – sextique
Les noms pour les degrés au-dessus de 3 sont basés sur les nombres ordinaux latins, et se terminent en -ique. Cela doit être distingué des noms utilisés pour le nombre d'indéterminées, l'arité, qui sont basés sur les latins, et se terminent en -aire. Par exemple, un polynôme de degré 2 à deux indéterminées, tel que X + XY + Y, est dit « quadratique binaire » : quadratique du fait de son degré 2, binaire du fait de ses deux variables.
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