Somme (catégorie)En mathématiques, dans une catégorie, la somme ou coproduit peut s'exprimer par une propriété universelle ou de manière équivalente comme foncteur représentable. Soit une catégorie et une famille d'objets de . On cherche un objet X ainsi qu'une famille de morphismes tel que pour tout objet Y de et pour toute famille de morphismes , il existe un unique morphisme tel que pour tout indice i, on a . Si un tel objet X existe, on l'appelle somme des . Lorsqu'elle existe, la somme des X représente le foncteur qui à un objet Y de associe le produit cartésien .
Produit (catégorie)Dans une catégorie, le produit d'une famille d'objets est sa limite, lorsqu'elle existe. Il est donc caractérisé par une propriété universelle ou de manière équivalente comme foncteur représentable. Soit une catégorie et une famille d'objets de . On cherche un couple , où X soit un objet de et une famille de morphismes , tel que pour tout objet Y de et pour toute famille de morphismes , il existe un unique morphisme tel que pour tout indice i, on ait . Si un tel couple existe, on dit que c'est un produit des .
Foncteur adjointL'adjonction est une situation omniprésente en mathématiques, et formalisée en théorie des catégories par la notion de foncteurs adjoints. Une adjonction entre deux catégories et est une paire de deux foncteurs et vérifiant que, pour tout objet X dans C et Y dans D, il existe une bijection entre les ensembles de morphismes correspondants et la famille de bijections est naturelle en X et Y. On dit que F et G sont des foncteurs adjoints et plus précisément, que F est « adjoint à gauche de G » ou que G est « adjoint à droite de F ».
Catégorie des anneauxEn mathématiques, la catégorie des anneaux est une construction qui rend compte abstraitement des propriétés des anneaux en algèbre. Dans ce contexte, « anneau » signifie toujours anneau unitaire. La catégorie des anneaux, notée Ring, est la catégorie définie ainsi : Les objets sont les anneaux ; Les morphismes sont les morphismes d'anneaux, avec la composition usuelle, et l'identité est la fonction identité sur un anneau donné. La sous-catégorie pleine de Ring, dont les objets sont les anneaux commutatifs, forme la catégorie des anneaux commutatifs, notée CRing.
Limite (théorie des catégories)La notion de limite est une construction catégorique abstraite, qui rend compte d'objets tels que les produits, les produits fibrés et les limites projectives. La construction duale, la colimite, rend compte entre autres des coproduits, sommes amalgamées et limites inductives. Dans certains cas, cette notion coïncide avec la limite au sens de l'analyse. Soit une catégorie. On considère un diagramme dans , traduit par un foncteur . Dans de nombreux cas, on considère une petite catégorie, voire finie, et on parle respectivement de petit diagramme ou de diagramme fini.
Catégorie des groupesEn mathématiques, la catégorie des groupes est une construction qui rend compte abstraitement des propriétés observées en algèbre dans l'étude des groupes. La catégorie des groupes, notée Grp, est définie de la manière suivante : Ses objets sont les groupes ; Les morphismes sont les morphismes de groupes, munis de la composition usuelle de fonctions, l'identité étant l'application identité. En théorie des catégories supérieures il est parfois pratique de voir les groupes comme des groupoïdes possédant un unique objet, les flèches de cet unique objet vers lui-même étant dénotées par les éléments du groupe lui-même.
Catégorie des espaces topologiquesEn mathématiques, la catégorie des espaces topologiques est une construction qui rend compte abstraitement des propriétés générales observées dans l'étude des espaces topologiques. Ce n'est pas la seule catégorie qui possède les espaces topologiques comme objet, et ses propriétés générales sont trop faibles ; cela motive la recherche de « meilleures » catégories d'espaces. C'est un exemple de catégorie topologique.
Catégorie complèteEn mathématiques, une catégorie complète est une catégorie dans laquelle toutes les petites limites existent. Autrement dit, une catégorie C est complète si tout diagramme F : J → C (où J est petite) a une limite dans C. Duallement, une catégorie cocomplète est une catégorie dans laquelle toutes les petites colimites existent. Une catégorie bicomplète est une catégorie à la fois complète et cocomplète. L'existence de toutes les limites (même lorsque J est une classe propre) est trop forte pour être pertinente en pratique.
Anneau commutatifUn anneau commutatif est un anneau dans lequel la loi de multiplication est commutative. L’étude des anneaux commutatifs s’appelle l’algèbre commutative. Un anneau commutatif est un anneau (unitaire) dans lequel la loi de multiplication est commutative. Dans la mesure où les anneaux commutatifs sont des anneaux particuliers, nombre de concepts de théorie générale des anneaux conservent toute leur pertinence et leur utilité en théorie des anneaux commutatifs : ainsi ceux de morphismes d'anneaux, d'idéaux et d'anneaux quotients, de sous-anneaux, d'éléments nilpotents.
Category (mathematics)In mathematics, a category (sometimes called an abstract category to distinguish it from a ) is a collection of "objects" that are linked by "arrows". A category has two basic properties: the ability to compose the arrows associatively and the existence of an identity arrow for each object. A simple example is the , whose objects are sets and whose arrows are functions. is a branch of mathematics that seeks to generalize all of mathematics in terms of categories, independent of what their objects and arrows represent.
