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Concept
Hexagone
Résumé
Un hexagone, du grec et , est un polygone à six sommets et six côtés. Un hexagone peut être régulier ou irrégulier.
Un hexagone régulier est un hexagone convexe dont les six côtés ont tous la même longueur. Les angles internes d'un hexagone régulier sont tous de 120°.
Comme les carrés et les triangles équilatéraux, les hexagones réguliers permettent un pavage régulier du plan. Les pavages carrés et hexagonaux sont notamment utilisés pour réaliser des dallages.
Parmi tous les pavages du plan, le pavage hexagonal (régulier) est celui dont la longueur totale des côtés est le plus petit. Cette propriété est à l'origine, dans la nature, de nombreuses dispositions (planes ou en section plane) comme les alvéoles d'abeilles ou la des orgues basaltiques et des sols polygonaux.
Un hexagone régulier est un hexagone convexe inscrit dans un cercle et dont tous les côtés ont la même longueur (et les angles la même mesure).
vignette|droite|Maille hexagonale que l'on peut rencontrer dans un cristal bidimensionnel avec réflexion par rapport à une droite et rotations d'ordre 6 autour d'un point. L'hexagone est ainsi composé de six triangles équilatéraux.
L'hexagone régulier peut se décomposer en six triangles équilatéraux, ce qui lui confère les propriétés suivantes.
Considérons les dimensions caractéristiques suivantes de l'hexagone régulier :
longueur d'un côté : a ;
distance du centre aux sommets, et rayon du cercle circonscrit : r ;
apothème : distance du centre aux côtés, et rayon du cercle inscrit : .
Nous avons les relations suivantes :
L'aire d'un hexagone régulier de côté a est
L'aire d'un hexagone régulier dont le cercle inscrit a pour rayon r est
Un hexagone régulier est constructible car il vérifie le théorème de Gauss-Wantzel : 6 est le produit de 2 (en effet, 2 est puissance de 2) et de 3 (3 est un nombre de Fermat).
Il est possible de construire un hexagone régulier avec un compas et une règle, en suivant la méthode des Éléments d'Euclide, qui consiste à construire 6 triangles équilatéraux :
Un hexagone possède six axes de symétrie : trois axes de symétrie passant par les sommets opposés et le centre, trois axes de symétrie passant par les points milieux des côtés opposés et le centre.
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