Série formelle

En algèbre, les séries formelles sont une généralisation des polynômes autorisant des sommes infinies, de la même façon qu'en analyse, les séries entières généralisent les fonctions polynomiales, à ceci près que dans le cadre algébrique, les problèmes de convergence sont évités par des définitions ad hoc. Ces objets sont utiles pour décrire de façon concise des suites et pour trouver des formules pour des suites définies par récurrence via ce que l'on appelle les séries génératrices. Soit R un anneau commutatif (unifère). L'anneau des séries formelles sur R en une indéterminée X est le groupe abélien (R, +) des suites à valeurs dans R, muni d'une certaine loi interne de multiplication. Plus précisément : une suite (a) d'éléments de R, lorsqu'elle est considérée comme un élément de , se note ∑ aX ; l'addition de deux suites se fait terme à terme : le produit de deux suites, appelé produit de Cauchy, est défini par : (c'est une sorte de produit de convolution discret). Ces deux opérations font de un anneau commutatif. Soit S(X) = ∑ aX une série formelle, notée encore S pour abréger. Son ordre ω(S) est un entier qui n'est défini que si S ≠ 0 : c'est le plus petit n tel que a ≠ 0. Si R est intègre alors l'anneau l'est aussi, et ω(ST) = ω(S) + ω(T) pour S et T non nulles dans cet anneau. L'anneau de polynômes est un sous-anneau de , les polynômes étant les séries formelles ∑ aX dont les coefficients a sont nuls à partir d'un certain rang. Puisque contient lui-même R comme sous-anneau (en identifiant les éléments de R aux polynômes constants), est donc une R-algèbre associative et une sous-algèbre. La formule de la série géométrique est valable dans :Plus généralement, un élément ∑ an Xn de est inversible dans si et seulement si son coefficient constant a0 est inversible dans R. Cela implique que le radical de Jacobson de est l'idéal engendré par X et le radical de Jacobson de R.