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Concept
Automorphisme intérieur
Résumé
Un automorphisme intérieur est une notion mathématique utilisée en théorie des groupes.
Soient G un groupe et g un élément de G. On appelle automorphisme intérieur associé à g, noté ιg, l'automorphisme de G défini par :
Pour un groupe abélien, les automorphismes intérieurs sont triviaux. Plus généralement, l'ensemble des automorphismes intérieurs de G forme un sous-groupe normal du groupe des automorphismes de G, et ce sous-groupe est isomorphe au groupe quotient de G par son centre. L'isomorphisme est induit par l'action par conjugaison de G sur lui-même.
Soit G un groupe. Un automorphisme intérieur de G est une application de la formepour un certain élément g de G (on parle alors de l'automorphisme intérieur associé à g).Tout automorphisme intérieur de G est un automorphisme du groupe G, c'est-à-dire
un morphisme de G dans G :
bijectif : la bijection réciproque de ι est ιg, puisqueet que, comme l'élément neutre appartient au centre Z(G) de G, son automorphisme intérieur associé est l'identité (plus généralement, l'ensemble des points fixes de ι est exactement le centralisateur de g).
Deux éléments de G ou deux sous-groupes de G images l'un de l'autre par un automorphisme intérieur sont dits conjugués.
Remarque : si G est muni de structures supplémentaires (groupe topologique, groupe de Lie, groupe algébrique), les automorphismes intérieurs sont toujours des isomorphismes pour les structures considérées.
Sous-groupe normal
Un sous-groupe H de G est dit normal ou distingué dans G lorsqu'il est globalement stable par tous les automorphismes intérieurs. Cela revient à dire qu'il est son seul conjugué.
L'application est un morphisme de groupes de G dans le groupe Aut(G) des automorphismes de G. L'image est exactement l'ensemble des automorphismes intérieurs de G, qui est donc un sous-groupe de Aut(G), noté Int(G). Par le théorème d'isomorphisme, le morphisme surjectif induit un isomorphisme :
Si est un automorphisme de G, et si g est un élément de G, alors :
d'où
Le conjugué d'un automorphisme intérieur par un automorphisme est donc un automorphisme intérieur.
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