Un automorphisme intérieur est une notion mathématique utilisée en théorie des groupes.
Soient G un groupe et g un élément de G. On appelle automorphisme intérieur associé à g, noté ιg, l'automorphisme de G défini par :
Pour un groupe abélien, les automorphismes intérieurs sont triviaux. Plus généralement, l'ensemble des automorphismes intérieurs de G forme un sous-groupe normal du groupe des automorphismes de G, et ce sous-groupe est isomorphe au groupe quotient de G par son centre. L'isomorphisme est induit par l'action par conjugaison de G sur lui-même.
Soit G un groupe. Un automorphisme intérieur de G est une application de la formepour un certain élément g de G (on parle alors de l'automorphisme intérieur associé à g).Tout automorphisme intérieur de G est un automorphisme du groupe G, c'est-à-dire
un morphisme de G dans G :
bijectif : la bijection réciproque de ι est ιg, puisqueet que, comme l'élément neutre appartient au centre Z(G) de G, son automorphisme intérieur associé est l'identité (plus généralement, l'ensemble des points fixes de ι est exactement le centralisateur de g).
Deux éléments de G ou deux sous-groupes de G images l'un de l'autre par un automorphisme intérieur sont dits conjugués.
Remarque : si G est muni de structures supplémentaires (groupe topologique, groupe de Lie, groupe algébrique), les automorphismes intérieurs sont toujours des isomorphismes pour les structures considérées.
Sous-groupe normal
Un sous-groupe H de G est dit normal ou distingué dans G lorsqu'il est globalement stable par tous les automorphismes intérieurs. Cela revient à dire qu'il est son seul conjugué.
L'application est un morphisme de groupes de G dans le groupe Aut(G) des automorphismes de G. L'image est exactement l'ensemble des automorphismes intérieurs de G, qui est donc un sous-groupe de Aut(G), noté Int(G). Par le théorème d'isomorphisme, le morphisme surjectif induit un isomorphisme :
Si est un automorphisme de G, et si g est un élément de G, alors :
d'où
Le conjugué d'un automorphisme intérieur par un automorphisme est donc un automorphisme intérieur.
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En mathématiques, le groupe général linéaire — ou groupe linéaire — de degré n d’un corps commutatif K (ou plus généralement d'un anneau commutatif unifère) est le groupe des matrices inversibles de taille n à coefficients dans K, muni du produit matriciel. On le note GL(K) ou GL(n, K) et il représente les automorphismes de l’espace vectoriel K. Ce groupe est non abélien dès lors que n > 1. Lorsque K est un corps commutatif, l’ensemble GL(n, K) est en outre un ouvert pour la topologie de Zariski.
En mathématiques, et plus précisément en théorie des groupes, une action par conjugaison est un cas particulier d'action de groupe. L'ensemble sur lequel agit le groupe G est ici G lui-même. En effet, aut∘aut = aut. Les classes de conjugaison sont utilisées pour la démonstration du théorème de Wedderburn stipulant que tout corps fini est commutatif. Dans le cadre de la théorie des représentations d'un groupe fini, les classes de conjugaison sont à la base de la définition des fonctions centrales d'un groupe fini, elles servent à définir l'espace vectoriel, les caractères des représentations.
En théorie des groupes, on appelle centre d'un groupe G l'ensemble des éléments de G qui commutent avec tous les autres. Soit G un groupe, noté multiplicativement. Son centre Z est Dans G, Z est un sous-groupe normal — comme noyau du morphisme de groupes ι ci-dessous — et même un sous-groupe caractéristique. Tout sous-groupe de Z est sous-groupe normal de G. Z est abélien. Le centre d'un groupe abélien G est le groupe G entier, c'est-à-dire : Z = G. Le centre du groupe alterné A est trivial pour n ≥ 4.
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