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Concept
Point col
Résumé
En mathématiques, un point col ou point-selle () d'une fonction f définie sur un produit cartésien X × Y de deux ensembles X et Y est un point tel que :
atteint un maximum en sur Y ;
et atteint un minimum en sur X.
Certains auteurs inversent les maximum et minimum ( a un minimum en et a un maximum en ), mais cela ne modifie pas qualitativement les résultats (on peut revenir au cas présent par un changement de variables).
Le terme point-selle fait référence à la forme de selle de cheval que prend le graphe de la fonction lorsque X et Y sont des intervalles de . Le terme de point col, renvoie, quant à lui, à l'image du col de montagne. Dans (au moins) une direction, le point-col est un point de maximum (pour passer d'une vallée à l'autre) et dans (au moins) une autre direction, c'est un point de minimum (pour passer d'une montagne à l'autre).
La notion de point col ou point-selle intervient :
en optimisation, comme concept permettant d'énoncer des conditions assurant l'existence de solution primale-duale ;
en théorie des jeux ;
pour déterminer des solutions particulières de certaines équations qui ne sont pas des minima ou des maxima de fonctionnelle d'énergie.
Voici une définition assez générale de la notion de point-selle d'une fonction définie sur un produit cartésien d'ensembles. Aucune structure n'est requise sur ces ensembles. La fonction doit par contre prendre ses valeurs dans l'ensemble des réels (ou plus généralement dans la droite réelle achevée ).
Autrement dit, atteint un maximum en sur Y et atteint un minimum en sur X. Rien n'est requis en dehors de la croix , si bien que l'image de la selle ou du col peut être trompeuse comme lorsque est définie par f(x,y)=xy (tous les points de l'axe des ordonnées sont des points-selles).
On pourra souvent se ramener à la définition précédente par un changement de variable. Par exemple, le point n'est pas un point-selle de la fonction , au sens de la définition ci-dessus, mais le devient localement après le changement de variable et .
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