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Concept
Matrice hessienne
Résumé
En mathématiques, la matrice hessienne (ou simplement le hessien ou la hessienne) d'une fonction numérique est la matrice carrée, notée , de ses dérivées partielles secondes.
Etant donnée une fonction à valeurs réelles
dont toutes les dérivées partielles secondes existent, le coefficient d'indice de la matrice hessienne vaut .
Autrement dit,
On appelle discriminant hessien (ou simplement hessien) le déterminant de cette matrice.
Le terme « hessien » a été introduit par James Joseph Sylvester, en hommage au mathématicien allemand Ludwig Otto Hesse.
Soit notamment une fonction de classe définie sur un ouvert de l'espace , à valeurs réelles. Sa matrice hessienne est bien définie et en vertu du théorème de Schwarz, elle est symétrique.
On appelle forme hessienne la forme quadratique associée à la matrice hessienne.
On suppose fonction de classe C sur un ouvert . La matrice hessienne permet, dans de nombreux cas, de déterminer la nature des points critiques de la fonction , c'est-à-dire des points d'annulation du gradient.
Si est un point de minimum local de , alors c'est un point critique et la hessienne en est positive (c'est-à-dire que la forme hessienne est positive).
Si est un point de maximum local de , alors c'est un point critique et la hessienne en est négative (c'est-à-dire que la forme hessienne est négative).
En particulier, si la hessienne en un point critique admet au moins une valeur propre strictement positive et une valeur propre strictement négative, le point critique est un point col.
Précisément, un point critique de est dit dégénéré lorsque le discriminant hessien y est nul, autrement dit lorsque 0 est valeur propre de la hessienne. En un point critique non dégénéré, le signe des valeurs propres (toutes non nulles) détermine la nature de ce point (point d'extremum local ou point col) :
si la hessienne est définie positive, la fonction atteint un minimum local strict au point critique ;
si la hessienne est définie négative, la fonction atteint un maximum local strict au point critique ;
s'il y a des valeurs propres de chaque signe, le point critique est un point col (cf.
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