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Concept
Formule de Stirling
Résumé
vignette
La formule de Stirling, du nom du mathématicien écossais James Stirling, donne un équivalent de la factorielle d'un entier naturel n quand n tend vers l'infini :
que l'on trouve souvent écrite ainsi :
où le nombre e désigne la base de l'exponentielle.
C'est Abraham de Moivre qui a initialement démontré la formule suivante :
où C est une constante réelle (non nulle).
L'apport de Stirling fut d'attribuer la valeur C = à la constante et de donner un développement de ln(n!) à tout ordre.
En appliquant la formule de Stirling à et à on obtient l'équivalent : ; inversement, cet équivalent, obtenu indépendamment grâce aux intégrales de Wallis, permet de calculer la constante C ci-dessus.
La formule de Stirling permet d'obtenir l'équivalent : ; ceci peut être vu comme le fait que le rapport de la moyenne arithmétique des entiers de 1 à n à leur moyenne géométrique tend vers .
La détermination de la constante n'est pas immédiate, mais il est facile de montrer le résultat de De Moivre, en vérifiant que est la n-ième somme partielle d'une série télescopique convergente. La façon classique d'en déduire ensuite la formule asymptotique est exposée dans l'article sur les intégrales de Wallis.
Pour introduire le facteur de De Moivre, une autre manière de présenter est la suivante : la formule d'Euler-Maclaurin appliquée à la fonction ln entre 1 et n donneOn prend alors l'exponentielle et cela donne l'idée du calcul ci-dessus.
On peut même introduire le facteur par la méthode de la descente rapide. Cette méthode est assez puissante et en l'appliquant, on « comprend » l'apparition du et l'on trouve immédiatement le résultat de Stirling.
Mais on peut aussi démontrer directement, et de façon élémentaire, un résultat plus précis sur la fonction Γ d'Euler, dont le cas particulier pour la factorielle s'écrit :
En supposant le coefficient C = déjà connu, la formule d'Euler-Maclaurin donne le développement asymptotique de ln(n!) au voisinage de l’infini à l’ordre K ≥ 1 :
où les B sont les nombres de Bernoulli.
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