Concept

Formule de Stirling

Résumé
vignette La formule de Stirling, du nom du mathématicien écossais James Stirling, donne un équivalent de la factorielle d'un entier naturel n quand n tend vers l'infini : \lim_{n \to +\infty} {n,!\over \sqrt{2 \pi n} ; \left({n}/{\rm e}\right)^{n} } = 1 que l'on trouve souvent écrite ainsi : n,!\sim \sqrt{2\pi n},\left({n \over {\rm e}}\right)^n où le nombre e désigne la base de l'exponentielle. Histoire C'est Abraham de Moivre qui a initialement démontré la formule suivante : n,!\sim C; n^{n+\frac12}, \mathrm e^{-n}, où C est une constante réelle (non nulle). L'apport de Stirling fut d'attribuer la valeur C = à la constante et de donner un développement de ln(n!) à tout ordre. Exemples d'applications Équivalent du coefficient binomial central En appliquant la formule de Stirling à (2n)! et à n! on obtient l'équivalent : \dbinom{2n}{n}=\frac{(2n)!}{(n!)^2} \sim \frac{4^n
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