In physics, equations of motion are equations that describe the behavior of a physical system in terms of its motion as a function of time. More specifically, the equations of motion describe the behavior of a physical system as a set of mathematical functions in terms of dynamic variables. These variables are usually spatial coordinates and time, but may include momentum components. The most general choice are generalized coordinates which can be any convenient variables characteristic of the physical system. The functions are defined in a Euclidean space in classical mechanics, but are replaced by curved spaces in relativity. If the dynamics of a system is known, the equations are the solutions for the differential equations describing the motion of the dynamics.
There are two main descriptions of motion: dynamics and kinematics. Dynamics is general, since the momenta, forces and energy of the particles are taken into account. In this instance, sometimes the term dynamics refers to the differential equations that the system satisfies (e.g., Newton's second law or Euler–Lagrange equations), and sometimes to the solutions to those equations.
However, kinematics is simpler. It concerns only variables derived from the positions of objects and time. In circumstances of constant acceleration, these simpler equations of motion are usually referred to as the SUVAT equations, arising from the definitions of kinematic quantities: displacement (s), initial velocity (u), final velocity (v), acceleration (a), and time (t).
A differential equation of motion, usually identified as some physical law and applying definitions of physical quantities, is used to set up an equation for the problem. Solving the differential equation will lead to a general solution with arbitrary constants, the arbitrariness corresponding to a family of solutions. A particular solution can be obtained by setting the initial values, which fixes the values of the constants.
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vignette|Joseph-Louis Lagrange Les équations de Lagrange, découvertes en 1788 par le mathématicien Joseph-Louis Lagrange, sont une reformulation de la mécanique classique. Il s'agit d'une reformulation de l'équation de Newton, qui ne fait pas intervenir les forces de réaction. Pour cela, on exprime les contraintes que subit la particule étudiée sous la forme d'équations du type : Il n'y a qu'une équation si le mouvement est contraint à une surface, deux s'il est contraint à une courbe.
L’action est une grandeur fondamentale de la physique théorique, ayant la dimension d'une énergie multipliée par une durée, ou d'une quantité de mouvement multipliée par une distance. Elle est notée habituellement et plus rarement . Cette grandeur a été définie par Leibniz en 1690. Elle s'est avérée d'une grande importance lors de la mise en évidence du principe de moindre action par Maupertuis en 1744, et plus tard lors de la découverte par Planck en 1900 de la constante universelle qui porte son nom, nommée par lui « quantum élémentaire d'action ».
La mécanique analytique est une formulation de la mécanique classique basée sur le calcul variationnel. La mécanique analytique s'est avérée un outil très important en physique théorique. En particulier, la mécanique quantique emprunte énormément au formalisme de la mécanique analytique. Contrairement à la mécanique d'Isaac Newton qui s'appuie sur le concept de point matériel, la mécanique analytique se penche sur les systèmes arbitrairement complexes, et étudie l'évolution de leurs degrés de libertés dans ce qu'on appelle un espace de configuration.
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