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Concept
Caractère d'une représentation d'un groupe fini
Résumé
En mathématiques le caractère d'une représentation d'un groupe fini est un outil utilisé pour analyser les représentations d'un groupe fini.
Le caractère d'une représentation (V, ρ) d'un groupe G correspond à l'application de G dans le corps de l'espace de la représentation qui à un élément s associe la trace de l'image de s par ρ.
Cette définition n'est pas compatible avec celle des caractères d'un groupe en général qui ne prend ses valeurs que dans l'ensemble des complexes non nuls.
L'utilisation du caractère d'une représentation d'un groupe fini est essentielle pour la classification des représentations. Une somme directe de représentations possède pour caractère la somme des caractères et deux représentations irréductibles non équivalentes possèdent des caractères orthogonaux.
thumb|Ferdinand Georg Frobenius, fondateur de la théorie des caractères
Le caractère χρ de la représentation (V, ρ) d'un groupe fini G est l'application, de G dans le corps K de la représentation, qui à s associe la trace de ρs :
Un cas important est celui où K est le corps des nombres complexes.
Un exemple simple est celui des représentations de degré 1. Il est alors possible d'identifier V à K. Le caractère apparaît comme un morphisme de groupes. Le théorème de Lagrange permet alors de démontrer que l'ensemble des images est inclus dans celui des racines |G|-ièmes de l'unité.
Un caractère irréductible est le caractère d'une représentation irréductible.
Les travaux de Jordan avec la publication d'un livre sur les équations algébriques représentent une première analyse d'un groupe fini de matrices représentant un groupe de Galois. Frobenius démarre en 1896 l'étude de la théorie des caractères des groupes finis, les caractères ne sont pas encore liés à la notion de représentation. Cette même année il communique, dans une lettre à Dedekind les caractères des représentations irréductibles des groupes symétriques S et S.
La théorie est rapidement développée ; entre 1897 et 1899, la machinerie est mise en place.
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