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Concept
Ferdinand Georg Frobenius
Résumé
Ferdinand Georg Frobenius, connu aussi sous le nom de Georg Frobenius, est un mathématicien allemand, né le à Charlottenbourg (Prusse, aujourd'hui sous-municipalité de Berlin) et mort le à Berlin (Allemagne).
Il suit des études aux universités de Göttingen et de Berlin et à l'École polytechnique fédérale de Zurich. Il est l'un des premiers, avec Heinrich Weber, à s'intéresser à la théorie des groupes pour elle-même et non comme outil, et il redémontre dans ce cadre les théorèmes de Sylow. On lui doit l'introduction des caractères d'un . Il travaille aussi en algèbre linéaire et donne en 1878 la première démonstration générale du théorème de Cayley-Hamilton. Il émet l'hypothèse, démontrée seulement en 1904 par Kurt Hensel, que les polynômes minimal et caractéristique d'un endomorphisme ont les mêmes facteurs irréductibles. En revanche, il démontre le théorème qui porte maintenant son nom (prouvé indépendamment par le mathématicien américain Charles Sanders Peirce) qui, dans la terminologie moderne, exprime que les seules algèbres associatives de dimension finie et sans diviseur de zéro sur le corps des réels, sont le corps des réels, celui des complexes et le corps gauche des quaternions de Hamilton. En analyse, il étudie les fonctions elliptiques et les équations aux dérivées partielles, et s'intéresse à la théorie des nombres, en particulier à la fonction zêta de Riemann et aux nombres algébriques.
En 1892, il devient membre de l'Académie royale des sciences et des lettres de Berlin.
Durant la deuxième moitié de sa carrière, la théorie des groupes a constitué l'un des principaux intérêts de Frobenius. L'une de ses premières contributions a été la redémonstration des théorèmes de Sylow pour un groupe abstrait (la preuve originelle de Sylow était formulée pour un groupe de permutations). La preuve du premier théorème de Sylow (sur l'existence des sous-groupes de Sylow) élaborée par Frobenius est encore celle la plus enseignée de nos jours.
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