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Concept
Bayes estimator
Résumé
In estimation theory and decision theory, a Bayes estimator or a Bayes action is an estimator or decision rule that minimizes the posterior expected value of a loss function (i.e., the posterior expected loss). Equivalently, it maximizes the posterior expectation of a utility function. An alternative way of formulating an estimator within Bayesian statistics is maximum a posteriori estimation.
Suppose an unknown parameter is known to have a prior distribution . Let be an estimator of (based on some measurements x), and let be a loss function, such as squared error. The Bayes risk of is defined as , where the expectation is taken over the probability distribution of : this defines the risk function as a function of . An estimator is said to be a Bayes estimator if it minimizes the Bayes risk among all estimators. Equivalently, the estimator which minimizes the posterior expected loss for each also minimizes the Bayes risk and therefore is a Bayes estimator.
If the prior is improper then an estimator which minimizes the posterior expected loss for each is called a generalized Bayes estimator.
Minimum mean square error
The most common risk function used for Bayesian estimation is the mean square error (MSE), also called squared error risk. The MSE is defined by
where the expectation is taken over the joint distribution of and .
Using the MSE as risk, the Bayes estimate of the unknown parameter is simply the mean of the posterior distribution,
This is known as the minimum mean square error (MMSE) estimator.
Conjugate prior
If there is no inherent reason to prefer one prior probability distribution over another, a conjugate prior is sometimes chosen for simplicity. A conjugate prior is defined as a prior distribution belonging to some parametric family, for which the resulting posterior distribution also belongs to the same family. This is an important property, since the Bayes estimator, as well as its statistical properties (variance, confidence interval, etc.), can all be derived from the posterior distribution.
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Cours associés (32)
MATH-342: Time series
A first course in statistical time series analysis and applications.
MATH-232: Probability and statistics
A basic course in probability and statistics
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Concepts associés (16)
Minimum mean square error
In statistics and signal processing, a minimum mean square error (MMSE) estimator is an estimation method which minimizes the mean square error (MSE), which is a common measure of estimator quality, of the fitted values of a dependent variable. In the Bayesian setting, the term MMSE more specifically refers to estimation with quadratic loss function. In such case, the MMSE estimator is given by the posterior mean of the parameter to be estimated.
Maximum a posteriori
L'estimateur du maximum a posteriori (MAP), tout comme la méthode du maximum de vraisemblance, est une méthode pouvant être utilisée afin d'estimer un certain nombre de paramètres inconnus, comme les paramètres d'une densité de probabilité, reliés à un échantillon donné. Cette méthode est très liée au maximum de vraisemblance mais en diffère toutefois par la possibilité de prendre en compte un a priori non uniforme sur les paramètres à estimer.
Loi de Poisson
En théorie des probabilités et en statistiques, la loi de Poisson est une loi de probabilité discrète qui décrit le comportement du nombre d'événements se produisant dans un intervalle de temps fixé, si ces événements se produisent avec une fréquence moyenne ou espérance connue, et indépendamment du temps écoulé depuis l'événement précédent. gauche|vignette|Chewing gums sur un trottoir. Le nombre de chewing gums sur un pavé est approximativement distribué selon une loi de Poisson.