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Concept
Théorème de Pascal
Résumé
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En géométrie projective, le théorème de Pascal est un théorème concernant un hexagone inscrit dans une conique .
Étant donné un hexagone d'un plan projectif sur un corps commutatif quelconque, il y a équivalence entre les deux propositions suivantes :
Les "côtés" de l'hexagone sont les droites joignant deux points consécutifs de l'hexagone.
Si deux côtés opposés sont confondus, leur intersection est une droite. Le théorème s'interprète alors par exemple en écrivant la seconde condition sous la forme :
Cependant cette disposition ne peut exister dans le cas d'une conique propre puisque l'intersection d'une telle conique et d'une droite comporte au plus deux points.
Le théorème de Pappus est un cas particulier du théorème (direct) de Pascal, lorsque la conique est dégénérée en deux droites distinctes D et D'. De plus, pour obtenir un résultat non trivial (vérification immédiate), on suppose que les deux sommets de chaque côté appartiennent à des droites D, D' distinctes.
On peut remarquer en reprenant la démonstration dans ce cas que les résultats généraux d'homographie sur une conique ne sont pas réellement utilisés. Les théorèmes invoqués sont plus simplement ceux concernant les divisions de points alignés et les faisceaux de droites.
On veut prouver l'alignement de ; on utilisera donc le théorème de Ménélaüs. Un triangle envisageable pour ce théorème est obtenu avec les droites qui donnent les points (un autre
celui construit avec ). Les côtés non utilisés de l'hexagone fournissent des points alignés avec , d'où des utilisations possibles de Menelaüs qui traduisent en fait la façon dont la figure est construite. Il suffit alors d'utiliser le fait que tous ces points sont sur un même cercle, ce qui justifie l'utilisation de la puissance d'un point.
On veut donc calculer .
En utilisant le théorème de Ménélaüs dans le triangle et le fait que soient alignés, on tire
d'où
On a également des relations similaires en écrivant que et
sont alignés.
Source officielle
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