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En géométrie, un rectangle est un quadrilatère dont les quatre angles sont droits. Définition et propriétés Un quadrilatère est un polygone (donc une figure plane) constitué de quatre points (appelés sommets) et de quatre segments (ou côtés) liant ces sommets deux à deux de manière à délimiter un contour fermé. Fichier:Six Quadrilaterals.svg|Quadrilatères. Les deux situés en haut à gauche (vert et marron) sont des rectangles. Fichier:Rectangle 2.svg|Un rectangle, ses deux diagonales et un [[angle droit]] codé. Démontrer qu'un quadrilatère est un rectangle vignette|droite|Un quadrilatère avec trois angles droits. Différentes propriétés caractéristiques permettent d'affirmer qu'un quadrilatère est un rectangle. Il suffit qu'un quadrilatère possède trois angles droits pour être un rectangle. Tout quadrilatère équiangle (c'est-à-dire dont les quatre angles sont égaux) est un rectangle. Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors il est un rectangle si l

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Generalized eigenvalue problems with specified eigenvalues

Daniel Kressner

We consider the distance from a (square or rectangular) matrix pencil to the nearest matrix pencil in 2-norm that has a set of specified eigenvalues. We derive a singular value optimization characterization for this problem and illustrate its usefulness for two applications. First, the characterization yields a singular value formula for determining the nearest pencil whose eigenvalues lie in a specified region in the complex plane. For instance, this enables the numerical computation of the nearest stable descriptor system in control theory. Second, the characterization partially solves the problem posed in Boutry et al. (2005, SIAM J. Matrix Anal. Appl., 27, 582-601) regarding the distance from a general rectangular pencil to the nearest pencil with a complete set of eigenvalues. The involved singular value optimization problems are solved by means of Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno and Lipschitz-based global optimization algorithms.

Oxford University Press2014

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Coloring Relatives of Interval Overlap Graphs via On-line Games

Bartosz Maria Walczak

The main goal of this paper is to formalize and explore a connection between chromatic properties of graphs defined by geometric representations and competitivity analysis of on-line algorithms. This connection became apparent after the recent construction of triangle-free geometric intersection graphs with arbitrarily large chromatic number due to Pawlik et al. We show that any on-line graph coloring problem gives rise to a class of game graphs, which in many cases have a natural representation by geometric objects. As a consequence, problems of estimating the chromatic number of graphs with geometric representations are reduced to finding on-line coloring algorithms that use few colors or proving that such algorithms do not exist. We use this framework to derive upper and lower bounds on the maximum possible chromatic number in terms of the clique number in the following classes of graphs: rectangle overlap graphs, subtree overlap graphs and interval filament graphs. These graphs generalize interval overlap graphs (also known as circle graphs)-a well-studied class of graphs with chromatic number bounded by a function of the clique number. Our bounds are absolute for interval filament graphs and asymptotic of the form (log log n)(f(w)) for rectangle and subtree overlap graphs. In particular, we provide the first construction of geometric intersection graphs with bounded clique number and with chromatic number asymptotically greater than log log n. Moreover, with some additional assumptions on the geometric representation, the bounds obtained are tight.

Springer-Verlag Berlin2014

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Piercing Quasi-Rectangles: On a Problem of Danzer and Rogers

János Pach, Gábor Tardos

It is an old problem of Danzer and Rogers to decide whether it is possible arrange O(1/epsilon) points in the unit square so that every rectangle of area epsilon contains at least one of them. We show that the answer to this question is in the negative if we slightly relax the notion of rectangles, as follows. Let delta be a fixed small positive number. A quasi-rectangle is a region swept out by a continuously moving segment s, with no rotation, so that throughout the motion the angle between the trajectory of the center of s and its normal vector remains at most delta. We show that the smallest number of points needed to pierce all quasi-rectangles of area e is Theta (1/epsilon log 1/epsilon).

Springer-Verlag Berlin2011

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Losange

Un losange est un quadrilatère dont les côtés ont tous la même longueur, ou encore un parallélogramme ayant au moins deux côtés consécutifs de même longueur. Il était anciennement appelé rhombe du gr

Carré

En géométrie euclidienne, un carré est un quadrilatère convexe à quatre côtés de même longueur avec quatre angles droits. C’est donc un polygone régulier, qui est à la fois un losange, un rectangle,

Aire (géométrie)

thumb|L'aire du carré vaut ici 4. En mathématiques, l'aire est une grandeur relative à certaines figures du plan ou des surfaces en géométrie dans l'espace. Le développement de cette notion mathémati

MATH-106(b): Analysis II

Étudier les concepts fondamentaux d'analyse et le calcul différentiel et intégral des fonctions réelles de plusieurs variables.

ME-484: Numerical methods in biomechanics

Students understand and apply numerical methods (FEM) to answer a research question in biomechanics. They know how to develop, verify and validate multi-physics and multi-scale numerical models. They can analyse and comment results in an oral presentation and a written report.

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